Movimiento armónico simple

Movimiento Armónico Simple

Andrea Martínez Díaz

4. Oscilaciones y vibraciones armónicas
Latidos del corazón
Movimiento de un péndulo
Una cuerda que vibra
Movimiento de un columpio

Se pueden caracterizar por las siguientes propiedades periódicas:


PERIODO (T):



FRECUENCIA (f o Ѵ)

1 1
𝜈= → = 𝑇
𝑇
𝜈

Tipos de movimientos
Maquinaria de un reloj
Satélite que giraMOVIMIENTO OSCILATORIO
MOVIMIENTO PERIÓDICO

Átomos en una molécula

MOVIMIENTO VIBRATORIO

¿por qué se producen los movimientos
oscilatorios?
Porque cualquier sistema o cuerpo que sea
apartado de su posición de equilibrio estable
tenderá a recuperar el equilibrio efectuando
movimientos oscilatorios alrededor de dicha
posición.
son libres si
sobre el cuerpo o
sistema no actúanfuerzas disipativas

son
amortiguadas
cuando
actúan
fuerzas disipativas

¿Cuándo decimos que un movimiento
oscilatorio es armónico?
𝐹 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 = −𝑘𝑥
LEY DE HOOKE

Si un cuerpo es apartado de su posición de
equilibrio estable, comienzan a actuar sobre él
fuerzas reparadoras que tienden a devolverlo
o su estado original de equilibrio.

5. Cinemática del MAS
FASE DEL MOVIMIENTOPOSICIÓN

ELONGACION
MÁXIMA

CONSTANTE DE FASE
O FASE INCIAL
FRECUENCIA
ANGULAR

ECUACION QUE REPRESENTA UN
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Magnitudes del MAS
SIMBOLO

NOMBRE

REPRESENTA

UNIDAD

x, y

Elongación

Distancia entre la posición
de equilibrio y la que ocupa
el móvil en un instante

m

A


T

amplitud

Elongación máxima

m

frecuenciaNúmero de oscilaciones
completas por segundo

Hz

Frecuencia angular

Frecuencia multiplicada por
2

Rad/s

periodo

Tiempo que tarde en
producirse una oscilación
completa

s

0

Fase inicial o
desfase

Permite calcular la posición
del móvil cuando vamos
comenzamos a estudiar su
movimiento.

rad

t0

Fase

Argumento de la función
trigonométrica que nospermite calcular la posición
del móvil

rad

Ecuación de velocidad en el MAS
𝑑𝑦
𝑑 𝐴 ∙ sin 𝜔 ∙ 𝑡 + 𝜙0
𝜐=
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡

𝜐= 𝜔∙ 𝐴

Valor mínimo

→ 𝜐 = 𝜔 ∙ 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙0

Valor máximo

𝜐 = −𝜔 ∙ 𝐴

NO CONFUNDAS
LA VELOCIDAD
CON LA
FRECUENCIA Ѵ

Relación entre la posición y la
velocidad
𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1

𝑥 = 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜙0 → sin 𝜔𝑡 + 𝜙0

𝑥
=
𝐴

DERIVAMOS

𝜐 = 𝜔𝐴 cos 𝜔𝑡 +𝜙0 → cos 𝜔𝑡 + 𝜙0

𝜐
=
𝜔𝐴

𝛼 ≡ 𝜔𝑡 + 𝜙0 → 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1
𝑥
𝐴

2

𝜐
+
𝜔𝐴

2

𝜐2
𝑥2
𝐴2 − 𝑥 2
=1→ 2 2 =1− 2 =
𝜔 𝐴
𝐴
𝐴2

𝜐 2 = 𝜔2 ∙ 𝐴2 − 𝑥 2 → 𝜐 = 𝜔

𝐴2 − 𝑥 2

SIMPLIFICANDO
Y
ORDENANDO

Ecuación de aceleración del MAS
𝑑𝜐
𝑑 𝜔𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝜙0
𝑎=
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡

= −𝜔2 𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜙0 = −𝜔2 𝑥

𝑎=0

En la posición de
equilibrio

𝑎 = −𝜔2 𝑥

𝑎
La aceleración delMAS varía de forma
senoidal igual que la elongación, pero
en sentido contrario

Es máxima en la posición de
Máximo desplazamiento

Ejercicios resueltos de cinemática

2. Un punto material depende del extremo de un muelle. Se le hace oscilar
con una frecuencia de 0,25 Hz y se observa que entre el punto más alto y el
más bajo el punto material recorre una distancia de 12 cm. Determinala
velocidad del móvil cuando se encuentra a 2 cm del punto más alto.
Como se aprecia en la figura el muelle oscila
con una amplitud de 6 cm.
Cuando está a 2 cm del punto más alto se
encuentra en la posición 𝑥 = 4

𝑉= 𝜔∙
𝑉 = 2𝜋𝜈 ∙

𝐴2 − 𝑥 2
𝐴2 − 𝑥 2

Sustituyendo los datos:
𝑉 = 2𝜋𝜈 ∙ 62 − 42 = ±7 𝑐𝑚 𝑠
Matemáticamente, la velocidad puede ser negativa o positiva. Será positiva si sedirige
hacia el punto de máxima elongación (si sube), y será negativa si se dirige a la posición
de equilibrio.

6. Dinámica del MAS
Oscilación con MAS


Fuerza restauradora

Expresión matemática:

Ley de Hooke

Constante K característica de cada oscilador (resorte)
 Expresada en N/m
 K de elasticidad estática y K de elasticidad dinámica




En éste gráfico se...