Movimiento En Un Plano y En El Espacio

Movimiento en un plano y en el espacio

Hugo Medina Guzmán

CAPITULO 3. Movimiento en un plano y en el espacio
MOVIMIENTO CIRCULAR Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes. Posición angular, θ En el instante t el móvil se encuentra en el puntoP. Su posición angular viene dada por el ángulo θ , que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O. El ángulo θ , es el cociente entre la longitud del arco S y el radio de la circunferencia r, θ = S / r . La posición angular es el cociente entre dos longitudes y por tanto, no tiene dimensiones. es

ω1 . La velocidad angular del móvil ha cambiado Δω = ω1 − ω 0  enel intervalo de tiempo
Δt = t1 − t 0 comprendido entre t 0 y t1 .

Se denomina aceleración angular media al cociente entre el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo que tarda en efectuar dicho cambio.

αm =

Δω Δt

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

α = lim

Δω dω = Δt →0Δt dt

Velocidad angular,

ω
θ 1 . El móvil se habrá

En el instante t1 el móvil se encontrará en la posición P1 dada por el ángulo

RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES ANGULARES Y LINEALES De la definición de radián (unidad natural de medida de ángulos) obtenemos la relación entre el arco y el radio. Como vemos en la figura, el ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco entre su radiodesplazado Δθ = θ1 − θ 0 en el intervalo de tiempo

Δt = t1 − t 0 comprendido entre t 0 y t1 .

θ=

s s' = r r'

Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.

ωm =

Δθ , con las unidades en el SI de rad/s. Δt

Derivando s = rθ respecto del tiempo obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular

ds dθ =r ⇒ v = rω dtdt

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

La dirección de la velocidad es tangente a la trayectoria circular, es decir, perpendicular a la dirección radial
0H

ω = lim

Δθ dθ = Δt →0 Δt dt

Aceleración angular, α Si en el instante t la velocidadangular del móvil es ω y en el instante t1 la velocidad angular del móvil 1

Aceleración tangencial Derivando esta última relación con respecto del tiempo obtenemos la relación entre la aceleración tangencial a t y la aceleración angular.

dv dω =r ⇒ at = rα dt dt

Movimiento en un plano y en el espacio Existe aceleración tangencial, siempre que el módulo de la velocidad cambie con el tiempo,es decir, en un movimiento circular no uniforme Hallar el desplazamiento angular a partir de la velocidad angular. Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento θ − θ 0 entre los instantes definida.

Hugo Medina Guzmán

dθ ⇒ dθ = ωdt , integrando dt obtenemos el desplazamiento θ − θ 0 del móvil entre los instantes t 0 y t :
Siendo

ω=

∫θ dθ= ∫ [ω
t
0

θ

t0

0

+ α (t − t0 )] dt ⇒
1 2

t 0 y t , mediante la integral

θ = θ 0 + ω0 (t − t0 ) + α (t − t0 )2
Habitualmente, el instante inicial

θ − θ 0 = ∫ ωdt
t0

t

t 0 se toma como

Hallar el cambio de velocidad angular a partir de la aceleración angular. Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t 0 y t , apartir de un registro de la velocidad
2H

cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. α = constante , ω = ω 0 + α t ,

θ = θ 0 + ω0 t + α t 2
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ − θ 0 .

1 2...