Movimiento libre amortiguado

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SISTEMAS RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBRE AMORTIGUADO
ED de un movimiento libre amortiguado
Las fuerzas amortiguadoras que actùan sobre un cuerpo son consideradas proporcionales a unapotencia de la velocidad instantanea. Se supone que esta fuerza está dada por un multiplo constante de dx/dt. Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se deduce de la segunda ley de Newton quem((d²x)/(dt²))=-kx-β((dx)/(dt)).......... (1)
donde β es una cosntante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamientoactúa en una dirección opuesta al movimiento.
Al dividir la ecuacion entre la masa m, se encuentra que la ecacion diferencial del movimientp libre amoritguado es((d²x)/(dt²))+((β/m))((dx)/(dt))+((k/m))x=0, o bien,
((d²x)/(dt²))+2λ((dx)/(dt))+w²x=0, donde 2λ=(β/(m′)) y w²=(k/m).
La ecuacion auxiliar es m²+2λm+w²=0 , por lo tanto las raices correspondientes son:
m₁=-λ+√(λ²-w²) ym₂=-λ-√(λ²-w²)

TRES CASOS POSIBLES DEPENDIENDO DE λ²-w²
caso 1: λ²-w²>O. El sistema esta sobreamoritugado. El coeficiente de amoritguamiento β es grando comparado con la constante delresorte λ. La solucion:
x(t)=e^{-λt}(c₁e^{√(λ²-w²)}+c₂e^{-√(λ²-w²)})
caso 2: λ²-w²=0 Esta sistema esta criticamente amortiguado. La solucion es:
x(t)=e^{-λt}(c₁+c₂t)
caso 3: λ²-w² 2pFIGURA 5.13
Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamiento
Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria enla solución de un problema. Veremos también que si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un graveproblema en un sistema mecánico oscilatorio.
EJEMPLO 9 Movimiento forzado no amortiguado
Resuelva el problema de valor inicial
(29)
en donde F0 es constante y g ¹w....
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