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Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701

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DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
RESUMEN En este artículo se estudia el método de Heaviside para descomponer una fracción propia f ( x) = p( x) / q( x) , es decir, p y q son polinomios, y grado( p( x)) < grado(q ( x)) . Este tipo de descomposición se utiliza en el cálculo de integrales de funciones racionalesy para encontrar algunas transformadas inversas de Laplace y se basa en un teorema del álgebra avanzada, el cual establece que cada función racional, sin importar que tan complicada sea, puede rescribirse como una suma de fracciones más simples, 5x − 3 2 3 por ejemplo 2 . = + x +1 x − 3 x − 2x − 3 PALABRAS CLAVES: Fracción propia., fracciones parciales. ABSTRACT This paper studies the Heavisidemethod for decomposing an own fraction f ( x) = p( x) / q( x) . That is to say, p and q are polynomials and deg ree( p( x)) < deg ree(q( x)) . This type of decomposition is used to calculate integrals of rational functions and to find some inverse Laplace transforms and it’s based in a theorem of advanced algebra, which it establishes that each rational function, no matter what complicated it was,can rewrites as a sum of fractions most simples, by example 5x − 3 2 3 . = + 2 x +1 x − 3 x − 2x − 3 KEYWORDS: Own fraction, partial fractions. 1. INTRODUCCIÓN. La descomposición en fracciones parciales de una fracción propia es un procedimiento utilizado muy frecuentemente cuando se va hallar una antiderivada de una función racional o cuando se quiere encontrar la transformada inversa de Laplace.En la mayoría de los textos de Cálculo no se hace un tratamiento detallado de este tema. En [3] se hacen algunas observaciones sobre el método de Heaviside, pero no se profundiza. Este tema se encuentra desarrollado en [1] y [2] de una manera más formal, de donde se ha tomado y se ha ampliado. En este artículo se asume que los polinomios p(x) y q(x) tienen coeficientes reales. 2. CONTENIDO.Empezamos el desarrollo considerando los posibles caso que se presentan en la factorización de q(x) . 2.1. Método algebraico Este es el método más comúnmente utilizado. continuación se analizan los casos posibles. A Ejemplo 1. Calcule CASO 1. x = a es una raíz real simple de q(x) , es decir, q( x) = ( x − a )t a ( x) , con t a (a) ≠ 0 . Entonces existe una función wa 1 tal que A + wa ( x ) , f ( x) =x−a y A se calcula de la siguiente manera: ALEJANDRO MARTÍNEZ A. Licenciado en Educación con Especialidad en Matemáticas. Profesor Auxiliar Universidad Tecnológica de Pereira. amartinez@utp.edu.co

(1)

Paso 1. Se multiplica en ambos lados de (1) por x – a para obtener

p ( x) = A + ( x − a ) wa ( x) . t a ( x)
Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde
A= p(a) t a (a )

.

Esteprocedimiento se repite para cada raíz simple de q(x).

∫x

x +1
3

+ x 2 − 6x

dx .

1

Los índices en las funciones

ta

y

wa

se usan para indicar que

dichas funciones dependen de la raíz a. Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptación: 04 Mayo de 2006

260 Solución. Hay que encontrar la descomposición en x +1 fracciones parciales de f ( x) = 3 . Es decir, x +x 2 − 6x hay que hallar constantes A, B y C tales que
f ( x) = A B C . + + x x−2 x+3
3 2

Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP

Paso 4. Se efectúan los cálculos en el lado derecho para obtener un polinomio Paso 5. Se igualan los coeficientes de las potencias correspondientes de x y se resuelven las ecuaciones resultantes para los coeficientes Am−1 , … , A2 , A1 . CASO 3.Si x = a = α + iβ es una raíz compleja simple. En este caso también lo es x = a = α − iβ ,

Como p ( x) = x + 1 y q( x) = x + x − 6 x . Al factorizar q(x) se tiene q( x) = x( x − 2)( x + 3) . Luego,
p(0) 0 +1 1 = =− , t 0 (0) (0 + 3)(0 − 2) 6 p(3) 2 +1 3 B= = = , t 2 (2) 2(2 + 3) 10 A=

puesto que q(x) tiene coeficientes reales. Es decir,
q ( x) = [( x − α ) 2 + β 2 ] t a ( x) . Entonces...
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