Movimiento rectilineo uniforme

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Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
[pic]
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puederelacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
[pic]
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Δx=x'-x en el intervalo de tiempo Δt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t'está definida por
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Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Δt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Δt tiende a cero.
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Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lolargo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
•  2 y 3 s.
•  2 y 2.1 s.
•  2 y 2.01 s.
•  2 y 2.001 s.
•  2 y 2.0001 s.
•  Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m

t’ (s)x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
[pic] m/s

3
46
25
1
25

2.1
23.05
2.05
0.1
20.5

2.01
21.2005
0.2005
0.01
20.05

2.001
21.020005
0.020005
0.001
20.005

2.0001
21.00200005
0.00200005
0.0001
20.0005

 ...
  ...
 ...
 ...
 ...

 
0
20

Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
• La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
• La posición del móvil en el instante t+Δt es  x'=5(t+Δt)2+1=5t2+10tΔt+5Δt2+1
• El desplazamiento es Δx=x'-x=10tΔt+5Δt2
• La velocidad media es
[pic]
La velocidad en el instante t es el límitede la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
[pic]
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
[pic]
En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

[pic]
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instantet' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Δv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Δt=t'-t.
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La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Δt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
[pic]
Ejemplo:Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
• La velocidad
• La aceleración del móvil en función del tiempo.
[pic]

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
[pic]
El producto vdt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
[pic]
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color...
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