Movimiento rectilineo

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Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición
La posición x del móvil se puede relacionar conel tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' estádefinida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio

Ejercicio

Una partícula se mueve a lo largo del eje X,de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5·t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.

Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:

2 y 3 s.

2 y 2.1 s.

2 y 2.01 s.

2 y 2.001 s.

2 y 2.0001 s.

Calcula la velocidad en el instante t=2 s.

En el instante t=2 s, x=21 m

t’ (s)
x’ (m)
Δx=x'-x
Δt=t'-t
m/s3
46
25
1
25

2.1
23.05
2.05
0.1
20.5

2.01
21.2005
0.2005
0.01
20.05

2.001
21.020005
0.020005
0.001
20.005

2.0001
21.00200005
0.00200005
0.0001
20.0005

...
...
...
...
...


0
20


Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 ses una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

Calculamos la velocidad en cualquier instante t

La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1

La posición del móvil en el instante t+Dt es x'=5(t+Dt)2+1=5t2+10tDt+5Dt2+1

El desplazamiento es Dx=x'-x=10tDt+5Dt2

La velocidad media es

La velocidad en el instante t es el límite de la velocidadmedia cuando el intervalo de tiempo tiende a cero

La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.

En el instante t=2 s, v=20 m/s

Aceleración

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'.Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad Dv=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, Dt=t'-t.

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo Dt tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.

Ejemplo:

Un cuerpo se mueve a lo largo de una línearecta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de

La velocidad

La aceleración del móvil en función del tiempo.

Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes ty t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del...
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