Muestreo

Teorema del Muestreo
Sistemas Lineales. Curso 2004/05

Una operaci´n que es b´sica para dise˜ar todos los sistemas de modulaci´n de pulsos o a n o es el proceso de muestreo, donde una se˜al anal´gica se convierte en una secuencia de n o n´meros que normalmente est´n uniformemente espaciados en el tiempo. Para que dicho u a proceso tenga utilidad pr´ctica es necesario elegir la tasa de muestreoadecuadamente de a modo que esa secuencia de n´meros identifique de forma unica a la se˜al anal´gica original. u ´ n o Esta es la esencia del teorema de muestreo. Consideremos una se˜al arbitraria g(t) de energ´ finita como la que se muestra en n ıa la figura 1. Supongamos que muestreamos la se˜al g(t) de forma instant´nea a una tasa n a uniforme cada Ts segundos. Como resultado de este proceso seobtiene una secuencia de n´meros espaciados Ts y que podemos denotar mediante {g(nTs )}, donde n puede tomar u cualquier valor entero, Ts es el periodo de muestreo y fs = 1/Ts es la frecuencia de muestreo. Esta forma ideal de muestreo recibe el nombre de muestreo instant´neo. a Sea gδ (t) la se˜al obtenida multiplicando la secuencia de n´meros {g(nTs )} por un n u tren de deltas espaciados Ts ,entonces se puede expresar seg´n la ecuaci´n (1). u o
∞

gδ (t) =
n=−∞

g(nTs )δ(t − nTs )

(1)

A gδ (t) se la denomina se˜ al muestreada ideal. En la figura 2 se puede ver el n resultado de este tipo de muestreo aplicado a la se˜al de la figura 1. De forma equivalente n se puede expresar gδ (t) como el producto de la se˜al original g(t) por la funci´n de n o muestreo ideal δTs (t) conperiodo Ts seg´n la ecuaci´n (2). u o
∞

gδ (t) = g(t)δTs (t) = g(t)
n=−∞

δ(t − nTs )

(2)

Se puede determinar la transformada de Fourier de la se˜al muestreada gδ (t) convolun cionando la transformada de Fourier de g(t) con la transformada de Fourier de la funci´n o de muestreo ideal δTs (t) que viene dada por la ecuaci´n (3). Entonces si G(f ) es la transo formada de Fourier de g(t), latransformada de Fourier Gδ (f ) de la se˜al muestreada n gδ (t) viene dada por la ecuaci´n (4). Si intercambiamos el orden del sumatorio y la o convoluci´n se obtiene la ecuaci´n (5). La convoluci´n de una se˜al cualquiera con una o o o n delta desplazada, desplaza la se˜al seg´n la ecuaci´n (6), por lo que se tiene finalmente la n u o ecuaci´n (7). o
∞

δTs (t) =
n=−∞

δ(t − nTs ) ⇐⇒ 1 Ts
∞1 Ts

∞

δ f−
n=−∞

n Ts

(3)

Gδ (f ) = G(f ) ∗ 1 Ts
∞

δ f−
n=−∞

n Ts n Ts

(4)

Gδ (f ) =

G(f ) ∗ δ f −
n=−∞

(5)

1

g(t)

t

Figura 1: Se˜al arbitraria de energ´ finita. n ıa

g (t) δ

Ts t

Figura 2: La se˜al de la figura 1 muestreada idealmente. n

2

G(f)

G(0)

f −W W

Figura 3: Espectro de la se˜al a muestrear limitado a la banda W .n

G(f ) ∗ δ f − 1 Ts

n Ts
∞

=G f−

n Ts

(6)

Gδ (f ) =

G f−
n=−∞

n Ts

(7)

Gδ (f ) representa un espectro continuo peri´dico con periodo fs = 1/Ts . Se puede o decir entonces que el proceso de muestreo uniforme de una se˜al en el dominio del tiempo n da lugar a un espectro peri´dico en el dominio de la frecuencia con periodo igual a la o frecuencia de muestreo. Apartir de la ecuaci´n (1) tomando transformada de Fourier en ambos lados se obtiene o la ecuaci´n (8). Esta ecuaci´n se puede ver como una representaci´n en serie compleja de o o o Fourier de la se˜al peri´dica en la frecuencia Gδ (f ), siendo los coeficientes complejos de n o la expansi´n la secuencia de muestras {g(nTs )}, por lo que se tiene la ecuaci´n (9), que o o es la ecuaci´n an´lisis de laexpansi´n en serie compleja de Fourier de una se˜al. Hay que o a o n tener en cuenta que en las ecuaciones (8) y (9) se han intercambiado el papel habitual del tiempo y de la frecuencia.
∞

Gδ (f ) =
n=−∞

g(nTs ) exp(−j2πnf Ts )
fs

(8)

g(nTs ) = Ts
0

Gδ (f ) exp(j2πnf Ts )df

(9)

Todas las relaciones anteriores se pueden aplicar a cualquier se˜al continua g(t) de n energ´...