Muetreo por cuotas

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Distribución muestral de medias

Si tenemos una muestra aleatoria de una población N(m,s ), se sabe (Teorema del límite central) que la fdp de la media muestral es también normal con media m yvarianza s2/n. Esto es exacto para poblaciones normales y aproximado (buena aproximación con n>30) para poblaciones cualesquiera. Es decir σ/√n es el error típico, o error estándar de la media.
¿Cómousamos esto en nuestro problema de estimación?
1º problema: No hay tablas para cualquier normal, sólo para la normal m=0 y s=1 (la llamada z); pero haciendo la transformación (llamada tipificación)Z=X-μσ/√n
una normal de media m y desviación s se transforma en una z.

Llamando Za al valor de una variable normal tipificada que deja a su derecha un área bajo la curva de a, es decir, que laprobabilidad que la variable sea mayor que ese valor es a (estos son los valores que ofrece la tabla de la normal) podremos construir intervalos de la forma

para los que la probabilidad es 1 - a.Teniendo en cuenta la simetría de la normal y manipulando algebraicamente

que también se puede escribir

o, haciendo énfasis en que σ/√n es el error estándar de la media,

Recuérdeseque la probabilidad de que m esté en este intervalo es 1 - a. A un intervalo de este tipo se le denomina intervalo de confianza con un nivel de confianza del 100(1 - a)%, o nivel de significación de100a%. El nivel de confianza habitual es el 95%, en cuyo caso a=0,05 y za /2=1,96. Al valor X se le denomina estimación puntual y se dice que es un estimador de µ.

Ejemplo: Si de una poblaciónnormal con varianza 4 se extrae una muestra aleatoria de tamaño 20 en la que se calcula se puede decir que m tiene una probabilidad de 0,95 de estar comprendida en el intervalo

que sería el intervalode confianza al 95% para µ
En general esto es poco útil, en los casos en que no se conoce m tampoco suele conocerse s2; en el caso más realista de s2 desconocida los intervalos de confianza se...
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