Multiple y parcial

Análisis de correlación múltiple.
Por tratarse de un curso elemental, consideraremos únicamente el caso de dos variables predictoras X_1 y X_2, en general puede ser cualquier número de variables.Recordemos que la variable por predecir es Y.
Correlación total.
Se puede considerar simplemente los coeficientes de correlación entre Y y X_1:
ρ_(Y,X_1 )=Cov(Y,X_1 )/(σ_Y σ_(X_1 ) )
Y entre Y yX_2:
ρ_(Y,X_2 )=Cov(Y,X_2 )/(σ_Y σ_(X_2 ) )
En este contexto, se les llama coeficientes de correlación total.
Correlación parcial.
Conviene considerar la correlación entre la variable por predecir ycada una de las variables predictoras al eliminar la influencia de la otra variable predictora.
El coeficiente de correlación parcial de Y y X_1 con respecto a X_2 es, por definición:
ρ_(Y,X_1;X_2)=ρ(η_(Y;X_2 ),η_(X_1;X_2 ) )
Y el coeficiente de correlación parcial de Y y X_2 con respecto a X_1 es:
ρ_(Y,X_2;X_1 )=ρ(η_(Y;X_1 ),η_(X_2;X_1 ) )
Sin embargo, puede resultar laborioso calcular losresiduales (recordemos que se denotan con la letra η) y luego obtener los coeficientes de correlación. Por eso, en la práctica se emplean las siguientes fórmulas, que proporcionan los mismosresultados:
ρ_(Y,X_1;X_2 )=(ρ_(Y,X_1 )-ρ_(Y,X_2 ) ρ_(X_1,X_2 ))/√((1-ρ_(Y,X_2)^2 )(1-ρ_(X_1,X_2)^2 ) )
ρ_(Y,X_2;X_1 )=(ρ_(Y,X_2 )-ρ_(Y,X_1 ) ρ_(X_2,X_1 ))/√((1-ρ_(Y,X_1)^2 )(1-ρ_(X_2,X_1)^2 ) )
 Correlación múltiple.
A partir de estos coeficientes de correlación parcial se pueden obtener los coeficientes de regresión parcial:
β_(Y;X_1;X_2 )=σ_(Y;X_2 )/σ_(X_1;X_2 ) ρ_(Y,X_1;X_2 )
β_(Y;X_2;X_1)=σ_(Y;X_1 )/σ_(X_2;X_1 ) ρ_(Y,X_2;X_1 )
Con ellos se define el plano de regresión
y-μ_Y=β_(Y;X_1;X_2 ) (x_1-μ_(X_1 ) )+β_(Y;X_1;X_2 ) (x_2-μ_(X_2 ) )
A partir del plano de regresión se define lapredicción puntual:
Y ̂=μ_Y+β_(Y;X_1;X_2 ) (x_1-μ_(X_1 ) )+β_(Y;X_1;X_2 ) (x_2-μ_(X_2 ) )
El coeficiente de correlación múltiple de Y con respecto a X_1 y X_2 es:
ρ_Y(X_1,X_2 ) =ρ_(Y,Y ̂ )
Nunca es...