Multiplicadores de Lagrange

EXTREMOS CON RESTRICCIONES
ALE CANTO MAZA.

28 de noviembre de 2012
Multiplicadores de Lagrange
A menudo tenemos problemas en donde queremos maximizar una funci´n sujeta
o
a ciertasrestricciones o condiciones laterales. Problemas de este tipo los podemos
resolver con el Teorema de los multiplicadores de Lagrange que se enuncia a continuaci´n:
o
Teorema 1. Sean f : U ⊂ n → y g : U ⊂ n →funciones suaves dadas. Sea
x0 ∈ U, g(x0 ) = c0 y sea S el conjunto nivel de g con valor c0 (recordar que este es
el conjunto de puntos x ∈ n con g(x0 ) = c0 ). Supongamos g(x0 ) = 0 Si f | S,
quedenota f restringida a S,tiene un m´ximo o un m´
a
ınimo en x0 ,entonces existe
un n´mero real λ tal que:
u
f (x0 ) = λ g(x0 )
Demostraci´n. Recordemos que el espacio tangente a S en x0 sedefine como el
o
espacio ortogonal a g(x0 ). Motivamos esta definici´n considerando las tangentes
o
a las trayectorias c(t) en S como sigue: si c(t) es una trayectoria en S y c(0) = x0
entonces c (0) esun vector tangente a S en x0 ; pero
d
d
g(c(t)) = c0 = 0
dt
dt

(1)

y adem´s por la regla de la cadena,
a
d
g(c(t))|t =
dt

(2)

g(x0 ) • c (0)

Entonces g(x0 ) • c (0) = 0 lo cualnos indica que c (0) es ortogonal a g(x0 ).
Si f | S tiene un m´ximo en x0 , entonces f (c(t)) tendra con certeza un m´ximo
a
a
d
en t = 0. Por calculo de una variable dt f (c(t))|t = 0 = 0. Deaqui por regla de la
cadena tenemos,
(3)

0=

d
f (c(t))|t = 0 =
dt

f (x0 ) • c (0).

As´ f (x0 ) es perpendicular a la tangente de cada curva en S y tambien es perı,
pendicular alespacio tangente de S en x0 . De aqui como el espacio perpendicular a
este espacio tangente es una recta, entonces f (x0 ) y g(x0 ) son paralelos. Como
g(x0 ) = 0 se sigue que f (x0 ) es un m´ltiplo deg(x0 ) que es lo que dice el
u
teorema.
1

2

ALE CANTO MAZA.

Extraigamos de esta demostraci´n la geometr´ de la situaci´n. Podemos formuo
ıa
o
lar las cosas de la siguiente manera....