Multiplos

MÚLTIPLOS Y DIVISORES – DIVISIBILIDAD – M.C.D. y M.C.M.

Múltiplos de un número Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo, si multiplicamos 9x2 nos da 18. Decimos entonces que 18 es múltiplo de 9.

Divisor de un número Un número es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el primero, el resto de la división es 0. Porejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al dividir 10 entre 5 la división es exacta; da 2 y queda de resto 0.

Números primos y compuestos Un número es primo si tiene solamente dos divisores: él mismo y la unidad. Es decir, que sólo se puede dividir (dando una división exacta) por ese mismo número y por uno. Por ejemplo, el número 3 es un número primo. Los números primos hasta el 100 son:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71. Un número es compuesto si tiene 2 o más divisores. Por ejemplo, el número 15 es un número compuesto porque es divisible por 1, 15, 3 y 5.

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Criterios de divisibilidad Para saber si un número es divisible por algún otro número utilizamos los llamados criterios de divisibilidad. Son estos: • Divisibilidad por 2: unnúmero es divisible por dos si termina en cero o en cifra par. Divisibilidad por 3: un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres. Divisibilidad por 4: las dos últimas cifras tienen que ser dos ceros o un número múltiplo de 4. Divisibilidad por 5: un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco. Divisibilidad por 6: tiene que ser divisible por 2 y por3. Divisibilidad por 9: un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve. Divisibilidad por 10: tiene que terminar en cero. de manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000. Divisibilidad por 11: un número es divisible por once cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupa la posición par y la suma delas cifras que ocupan la posición impar son múltiplo de once. Divisibilidad por 100: un número es divisible por cien cuando las dos últimas cifras son 00.

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Escritura de números como producto de factores primos Los números compuestos se pueden escribir como producto de números más pequeños. Este proceso se llama factorización o descomposición en factoresprimos.

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Ejemplo: 24 12 6 3 1 0 2 2 3 1 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 3

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Divisores comunes a dos números. Máximo común divisor (M.C.D.) El M.C.D. (Máximo común divisor) de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Para calcular el M.C.D. de varios números: 1º- Se escribe cada número como producto de sus factores primos. 2º- El M.C.D. es igual al producto de los factores primoscomunes elevados al menor exponente. Ejemplo: 24 12 6 3 1 0 2 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 3 2 3

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30 15 4 1 0

5 1

2 3

30 = 2 · 3 · 5

M.C.D. (24, 30) = 2 · 3 = 6

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Múltiplos comunes a dos números. Mínimo común múltiplo (M.C.M.) El M.C.M. (Mínimo común múltiplo) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes. Para calcular el M.C.M. de varios números: 1º- Seescribe cada número como producto de sus factores primos. 2º- El M.C.M. es igual al producto de los factores primos, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Ejemplo: 24 12 6 3 1 0 2 2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 · 1 = 23 · 3 2 3

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30 15 5 1 0

5 1

2 3

30 = 2 · 3 · 5

M.C.M. (24, 30) = 23 · 3 · 5 = 8 · 3 · 5 = 120

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EJERCICIOS 1.- Calcula 4 múltiplos de cada uno de lassiguientes cifras: 3 8 5 2 10 15

2.- Escribe 3 divisores de cada uno de los siguientes números: 12 20 14 30 45 60

3.- Define qué es un número primo. Escribe 5 números primos. 4.- Define qué es un número compuesto. Escribe 5 números compuestos. 5.- Los criterios de divisibilidad nos sirven para saber si un número se puede dividir por otro. Sabiendo esto, señala porqué números son divisibles las...