Muy interesante

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Gráficamente el que una función f(x) sea continua en un punto xo , significa que no se rompe su
gráfica en el punto ( xo , f( xo )), es decir, se puede dibujar sin levantarel lápiz del papel en las
proximidades de dicho punto.
Intuitivamente la continuidad de f(x) en xo quiere decir que variaciones pequeñas de la variable x
cuando está próxima a xo , le corresponden variaciones pequeñas de f(x).
A continuación se formaliza el concepto de función continua.
Una función real f(x) es continua en xo si se cumple lim f (x ) = f (xo ) .
x → xo

Se dice que f esfunción continua en un subconjunto A si lo es en todos los puntos de A.
Ejemplo 17: Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

⎧ 5x 2
⎪
a) f (x ) = ⎨
⎪2 x + 3
⎩

si x ≤ 1
si x > 1

en el punto x = 1.

Se calculan los límites laterales ya que la función tiene distinta definición por la derecha y por la izquierda del punto:

lim f ( x) = lim 2 x +3 = 5

x →1+

lim f (x ) = lim 5x2 = 5 , luego lim f ( x) = 5 .

y

x →1+

x →1−

x →1−

x →1

Además, como f(1) = 5 y coincide con lim f (x ) , se cumple que f es continua en el punto x = 1.
x →1

⎧2 x 2 − 1
⎪
b) f (x ) = ⎨
⎪0
⎩

si x ≠ 1
si x = 1

en el punto x = 1.

(

)

Se calcula lim f ( x) = lim 2 x 2 − 1 = 1
x →1

x →1

y

como f(1) = 0, se cumpleque lim f ( x) ≠ f (1) y por tanto, f no es continua en el
x →1

punto x = 1.
c) f (x ) =

1
(x − 3)4

en el punto x = 3

En este caso no existe f(3), ya que 3 anula el denominador, por tanto, f no es continua en el punto x = 3
2
⎧
⎪
d) f (x ) = ⎨1 + e −1 / x
⎪
0
⎩

si x ≠ 0

en el punto x = 0.

si x = 0

Como e −1 / x tiene distinto límite según x tienda a 0 por laderecha o por la izquierda, para obtener lim

x →0

calculan los límites laterales: lim

x →0+

2
1 + e −1 / x

=

2
1 + e −∞

=

2
=2
1+0

,

lim

x →0−

2
1 + e −1 / x

=

2
1 + e+∞

=

2
1 + e −1 / x

se

2
2
=
=0
1 + ∞ +∞

Como estos límites no coinciden, entonces no existe lim f ( x ) , y por ello, f no es continua en x = 0.
x →0

Tipos dediscontinuidades de una función
Si f no es continua en un punto xo se dice que es discontinua en dicho punto. Esto puede
producirse por varias causas, dando lugar a distintos tipos de discontinuidades que se enumeran a
continuación.

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CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 7. Funciones reales devariable real

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

• Discontinuidad evitable: si existe

lim f ( x ) ∈ R. En este caso, al ser discontinua o bien

x → xo

xo ∉ D, o bien lim f (x ) ≠ f (xo ) .
x → xo

Este tipo de discontinuidad permite redefinir la función de forma continua de la manera
siguiente:
si x ≠ xo
⎧ f (x)
⎪
⎨ lim f (x )
si x = xo
⎪ x → xo
⎩
•Discontinuidad no evitable, si no existe

lim f ( x ) ∈ R. Esta situación se puede producir

x → xo

por las siguientes razones:
- existe lim f (x ) ∈ R y lim f ( x ) ∈ R pero son distintos.
x → xo +

x → xo −

- existe lim f (x ) = ±∞ o
x → xo +

lim f ( x ) = ±∞ .

x → xo −

- no existe lim f ( x ) o no existe lim f ( x ) .
x → xo +

x → xo −

Ejemplo 18:
a) La función f (x) =

senx
senx
x
presenta una discontinuidad evitable en x = 0 ya que no existe f(0) y lim
= lim
= 1 (se
x →0
x →0 x
x
x

ha aplicado el infinitésimo equivalente senx ∼ x

si x → 0 ).

⎧ senx
⎪
Por tanto, esta función se puede redefinir para que sea continua de la forma siguiente: f(x)= ⎨ x
⎪1
⎩
b) La función

⎧1
f (x) = ⎨
⎩x

si x ≤ 2
si x > 2

si x ≠ 0
si x = 0...