My documents

Vectores
Operaciones con vectores

Objetivo
• Comprender los conceptos matemáticos de operaciones
básicas de vectores.
• Aprender el funcionamiento de mathematica para estas
operaciones.

Agenda
Pagina

Concepto

Tiempo (Min)

3

Definicion de Vector

3

4

Suma de Vectores

27

12

Producto Punto

10

16

Producto Cruz

10

20

Triple Producto Escalary Vectorial

20

27

Ecuación de un plano

10

30

Distancia de un punto a un Plano

10

32

Coordenadas Cilíndricas

10

34

Ecuaciones de la esfera

10

36

Ejercicios en clase

30

Math

Ejercicios en software

20

39

Revisión de Tarea

10

Vector
• En física, un vector (también llamado vector euclidiano
o vector geométrico) es una herramientageométrica
utilizada para representar una magnitud física definida
por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y
su sentido (que distingue el origen del extremo).
• Se llama vector de dimensión h a una tupla de h
números reales (que se llaman componentes del vector).
El conjunto de todos los vectores de dimensión h se
representa como 𝑅 𝑛 (formado mediante el productocartesiano).
• Así, un vector n perteneciente a un espacio 𝑅 𝑛 se
representa como:
o

𝑣 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ……..𝑎 𝑛 ), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑅 𝑛

Suma de vectores
Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro,
ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el
extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el
del primer vector y terminaen el extremo del último

𝑐 = 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎; 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

Método del paralelogramo
Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en
disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos
coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores,
en el extremo del otro y de igual longitud, formando así unparalelogramo. El
vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte
del origen común de ambos vectores

Sumando tres vectores
La suma de vectores es asociativa
𝐷 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶;
𝐴 + 𝐵 = 𝐸;
𝐸 + 𝐶 = 𝐷;
𝐵 + 𝐶 = 𝐹;
𝐴+ 𝐹 = 𝐷
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶

Propiedades

Ejemplos
•

1,1,1 + 2, −3,4 = 3, −2, 5
1,7,3 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 + 𝑎, 7 + 𝑏, 3 + 𝑐
𝑥, 𝑦, 𝑧 + 0,0,0 = 𝑥,𝑦, 𝑧

Ejemplos

Ejercicio en clase
a) Dibujar -2v, donde v tiene como componentes (-1, 1, 2).
b) Si u y w son dos vectores cualesquiera, probar que:
a)

1

𝑣 − 3 𝑤 𝑦 3𝑣 − 𝑤 son paralelos

Producto punto o escalar
• El producto escalar de dos vectores en un espacio
euclídeo se define como el producto de sus módulos por
el coseno del ángulo ɵ que forman.
o

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 𝐵 cos 𝜃

•En los espacios euclídeos, la notación usual de producto
escalar es 𝑈 ∙ 𝑉
𝐴∙ 𝐵
cos 𝜃 =
𝐴 𝐵
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + 𝐴3 𝐵3

Ejemplos
• Encuentre el ángulo entre los vectores A y B, sí
o A = 6i+4j+3k
o B = 2i-3j-3k

Propiedades del producto
punto
• Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman
ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es
cero, ambosvectores son ortogonales.
o

𝐴∙ 𝐵 =0→ 𝐴

𝐵

• Dos vectores son paralelos o llevan la misma dirección si el ángulo
que forman es de 0 radianes (0 grados) o de π radianes (180
grados).Cuando dos vectores forman un ángulo cero, el valor del
coseno es la unidad, por lo tanto el producto de los módulos vale lo
mismo que el producto escalar.
o

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵 cos 𝜃 ↔ cos 𝜃 = 1 ↔ 𝐴 𝐵 → 𝐴 ∙ 𝐵 =𝐴 𝐵

Ejercicio en clase
• ¿Que ángulo forman los vectores A=3i+4j+k y B=i-j+k ?

Producto Cruz
• En álgebra lineal, el producto vectorial es una
operación binaria entre dos vectores de un espacio
euclídeo tridimensional que da como resultado un vector
ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia
se lo denomina también producto cruz.

𝐴𝑋𝐵 =

𝑖
𝐴𝑥
𝐵𝑥

𝑗
𝐴𝑦
𝐵𝑦...