Máximos y mínimos de una función

Máximos relativos
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0

Mínimos relativosSi f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimosPara hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la 2ªderivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 esun mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos de:
f(x) = x3 − 3x + 2f'(x) = 3x2 − 3 = 0
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6  Máximo
f''(1) = 6  Mínimo
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo(−1, 4) Mínimo(−1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa dedecreciente a creciente.

Ejemplo

Hallar los máximos y mínimos de:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]Tenemos un mínimo en x = 3

[pic]Mínimo (3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función