Máximos y mínimos de una función

Máximos y mínimos de una función
Definición
1.- Se dice que una función f(x) tiene un máximo local M en x = x0, si f(x0) ≥ f(x) para toda x en un intervalo (a,b) tal que x0, pertenezca a dichointervalo.
2.- Se dice que una función f(x) tiene un mínimo local m en x = x0, si f(x0) ≤ f(x) para toda x en un intervalo (a,b) tal que x0 pertenezca a dicho intervalo.
Ejemplos
1.- Determina lospuntos máximos y mínimos para la función:
f(x) = 3x2 – 12x + 15, utiliza el criterio de la primera derivada.
Solución.
Paso 1
Se obtiene la derivada de la función:
f1(x) = 6x – 12
Paso 2
Laderivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:
f1(x)= 6x – 12; 6x – 12 = 0 donde x=2
Este resultado recibe el nombre de valor o punto crítico.
Paso 3
Se da un valor menory uno mayor próximo al valor crítico y se evalúan en la derivada.
Para x = 2 se toman los valores 1 y 3
f1(1) = 6(1) – 12 = - 6 < 0 y f1(3) = 6(3) – 12 = 6 > 0

Elcambio negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x= 2.
Paso 4
El valor crítico se evalúa en la función:
f(2) = 3(2)2 – 12(2) + 15
f(2) = 3
Por consiguiente, el punto mínimoes (2,3)
2.- Obtén los puntos máximos y mínimos para la función:
f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 15
Solución
Paso 1
Se obtiene la derivada de la función:
f1(x) = 6x2 – 6x – 12
Paso 2
La derivada seiguala a cero y se resuelve la ecuación:
f1(x) = 6x2 – 6x – 12 6x2 – 6x – 12 = 0
x2 – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
Los valores críticos son:
x1 = 2, x2 = -1
Paso 3
Se danvalores menores y mayores próximos a los valores críticos y se evalúan en la derivada.
Para x = -1, se toman los valores x = - 32 y x = - 12
f1(- 32) = 6(-32)2 – 6(-32) - 12 = 212 > 0 y f1(- 12) =6(-12)2 – 6(-12) – 12 = - 152 < 0
La derivada cambia de signo positivo a negativo, entonces la función tiene un valor máximo en x = -1
Para x = 2 se toman los valores x = 32 y x = 52...