Máximos y mínimos

CÁLCULO SUPERIOR ´ MÁXIMOS Y MINIMOS LOCALES.
Curso del Instituto Tecnológico de Costa Rica

Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.
Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica. www.cidse.itcr.ac.cr

Capítulo 6

MÁXIMOS Y M´ INIMOS LOCALES. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

6.1 MÁXIMOS Y M´ INIMOS Análogamente al cálculo en una variable, los extremos locales de una función devarias variables son puntos donde la función alcanza un máximo o un mínimo en un pequeño entorno de este punto. Si la función está definida en una región R, los extremos globales son los puntos donde la función toma valores máximos o mínimos, en cualquier parte de la región en consideración. En esta sección estudiaremos el caso de funciones en dos variables. Una de las aplicaciones más útiles de lasderivadas parciales es al cálculo de valores extremos, como estudiaremos en seguida. Definición 6.1 (Extremos locales) Una función de dos variables f : H ⊂ R2 −→ R tiene un máximo local en (a, b) ∈ D si f (x, y) ≤ f (a, b) para todos los puntos (x, y) en algún entorno con centro (a, b). El número f (a, b) se llama valor máximo local. Si f (x, y) ≥ f (a, b) para todo punto (x, y) en dicho entorno,entonces f (a, b) es un mínimo local.

Observación: Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos (x, y) en el dominio de f , entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en (a, b) .
Cálculo Superior. Walter Mora F., Geovanni Figueroa M. Derechos Reservados c 2009 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

1

2MÁXIMOS Y M´NIMOS LOCALES. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. I

La figura 6.1 siguiente ilustra los conceptos de máximo y mínimo, respectivamente.
Máximo local

Z

X

Mínimo local
Figura 6.1 Máximos y mínimos

Observe que si z = f (x, y) es una función de dos variables y tiene un extremo en el punto P = (a, b) entonces el plano tangente a la superficie en el punto P es paralelo al plano xy (figura6.1), esto quiere decir que cualquiera de sus vectores normales es paralelo al vector → = (0, 0, 1) y puesto que, en este caso, un vector normal del plano tangente es − u →= − n − ∂ f (P) ∂ f (P) , − ,1 ∂x ∂y

concluimos que ∇ f (P) = 0 , es decir, en P las derivadas parciales se anulan

∂ f (P) ∂x ∂ f (P) ∂y

= =

0 0

Z

X

Figura 6.2 Las derivadas parciales se anulan en losextremos.

Esto se resume en el siguiente teorema.

Teorema 6.1 (Condición necesaria para extremos) Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función derivable tal que en P = (a, b) ∈ D, f tiene un extremo local (máximo o mínimo), entonces

MÁXIMOS Y M´NIMOS I

3

∂ f (P) ∂x ∂ f (P) ∂y

= =

0 0

Los puntos P en donde ∇ f (P) = 0 se conocen como puntos críticos. Definición 6.2 (Puntos críticos) Si f : D⊂ R2 −→ R y P = (a, b) ∈ D , entonces si ∇ f (P) = 0 o ∇ f (P) no existe, decimos que P es un punto crítico o punto estacionario.

Observación: El teorema anterior establece que si f tiene un extremo local en (a, b) entonces (a, b) es un punto crítico de f . Y al igual que sucede en una variable, no todos los puntos críticos son extremos locales.

EJEMPLO 6.1

Sea f (x, y) = 6xy − 2x2 y − 3xy2. Calcule los puntos críticos de f . Solución. Igualando el gradiente a cero obtenemos el siguiente sistema
∂f ∂x ∂f ∂y = = 6y − 4xy − 3y2 6x − 2x2 − 6xy = = 0 0 (1) (2)

De la ecuación (1) tenemos que 6y − 4xy − 3y2 = 0 =⇒ y(6 − 4x − 3y) = 0

entonces 6 − 4x 3

y=0

ó

y=

Si y = 0 , al sustituir en la ecuación (2) tenemos que

4

MÁXIMOS Y M´NIMOS LOCALES. MULTIPLICADORES DELAGRANGE. I

y = 0 =⇒ 6x − x2 = 0 =⇒ x = 0

ó

x=3

Y así (0, 0), (3, 0) son puntos críticos. Por otro lado, si y = 6 − 4x al sustituir en la ecuación (2) tenemos que 3 6 − 4x =⇒ 6x2 − 6x = 0 =⇒ x = 0 3 ó x=1

y=

Y así (0, 2), 1,

2 3

también son puntos críticos. Finalmente, los puntos críticos son 2 3

(0, 0), (3, 0), (0, 2), 1,

EJEMPLO 6.2

Encontrar y analizar los...