Método de newton para determinar raíces de f(x)=0

Método de Newton para determinar raíces de f(x)=0
Una de las aplicaciones más prácticas de las derivadas consiste en el cálculo de raíces de una ecuación cualesquiera. Nuestro objetivoes desarrollar el método de Newton para determinar las raíces reales de la ecuación f(x)=0 que son las intersecciones respecto al eje X de la gráfica de y=f(x).
Sea “r” una raíz realdesconocida de f(x)=0. Si podemos hallar una aproximación X1 para “r”; por ejemplo haciendo la gráfica de y=f(x) o por cualesquiera otro método; entonces por el método de Newton podemos irhallando mejores aproximaciones para “r”, bajo ciertas condiciones que debe satisfacer f definida por y=f(x).
El método de Newton se basa en lo siguiente; si X1 es una aproximaciónpara “r”; entonces si f cumple ciertas condiciones una mejor aproximación está dada por X2, punto de intersección de la tangente a y=f(x) en el punto (X1; f (x1)) con el eje X como lomuestra la siguiente figura.

Como X2 es también una aproximación para “r”, entonces la tangente a y=f(x) en el punto (X2; f(X2)) corta al eje X en X3, que es todavía un mejor punto deaproximación para “r”.
Aplicando este procedimiento un número suficiente de veces, la raíz real “r” de f(X)=0 se puede determinar con tantas cifras decimales como se desee, éste es enresumen el método de Newton, que como el lector se habrá dado cuenta se trata de un método aproximado para determinar las raíces de una ecuación dada.
Si f´(x)≠0 en un intervalo que contengaa X1 y a “r” y si f´´(x)>0 o f´´(x)0 o f´´(x) 1 para x>1, deducimos que nuestro cero está entre 0 y 1. Comenzaremos probando con el valor inicial x0 = 0,5

Los dígitos correctos estánsubrayados. En particular, x6 es correcto para el número de decimales pedidos. Podemos ver que el número de dígitos correctos después de la coma se incrementa desde 2 (para x3) a 5 y 10.