Método de Simpson

Método de Simpson 1/3 y 3/8
Además de aplicar la regla del trapecio con una segmentación mas fina, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral consiste en usar polinomios degrado superior para unir los puntos. Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre ƒ (ɑ) y ƒ (b), los tres puntos se pueden unir con una parábola. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre ƒ (ɑ) yƒ (b), los cuatro puntos se pueden unir mediante un polinomio de tercer grado. Las fórmulas que resultan de tomar las integrales bajo esos polinomios se conocen como reglas de Simpson.

REGLA DESIMPSON 1/3
La regla se Simpson ⅓ resulta cuando un polinomio de interpolación de segundo grado se sustituye en la ecuación:



Si se designan ɑ y b como xₒ y x₂ , y ƒ₂ (x) se representan por unpolinomio de Lagrange de segundo grado, la integral se transforma en:



Después de la integración y de las manipulaciones algebraicas se obtiene la siguiente formula:



Donde, en este caso, h=(b- ɑ)/2. Esta ecuación se conoce como regla de Simpson 1/3, y es la segunda fórmula de integración cerrada de Newton-Cotes. La especificación “1/3” se origina del hecho de que h está dividida en 3 enla ecuación. 

OBTENCIÓN Y ESTIMACIÓN DEL ERROR DE LA REGLA DE SIMPSON 1/3

Como se hizo en el cuadro 21.2 para la regla del trapecio, la regla de Simpson 1/3 se obtiene al integrar el polinomiode interpolación de Newton-Gregory hacia adelante:




Observe que se escribió el polinomio hasta el término de cuarto grado, en lugar de hasta el de tercer grado como se esperaría. La razón deesto se vería un poco después. Advierta también
EJEMPLO
Use la regla de Simpson 1/3 para integrar la siguiente función:
 
f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5
 
Desde a = 0 hasta b =0.8. La integral exacta es 1.640533.
 
-         Por Simpson 1/3
 
x0 = 0
x2 = 0.8
x1 = (0 + 0.8)/2 = 0.4
 
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.4) = 2.456
f(x2) = f(0.8) = 0.232
 
Sustituimos...