Métodos De Interpolación

INDICE:
1. Introducción ……………………………………………………………………..2
2. Métodos de interpolación …………………………………………………2
3. Polinomio de Interpolación de LaGrange …………………………..2
4. Polinomio de Interpolación de Newton …………………………….4
5. Interpolación con funciones Splines…………………………………..5
6.1 Spline lineal……………………………………………………7
6.2 Splines cuadráticos………………………………………..8
6.3Splines cúbicos………………………………………………9
6. Ejercicios Resueltos………………………………………………………….11
7.4 Ejercicios de Interpolación de LaGrange ……….11
7.5 Ejercicios de Interpolación de Newton…………..15
7.6 Ejercicios de Interpolación Spline lineal…………19
7.7 Ejercicios de Interpolación Spline Cuadratico..24
7.8 Ejercicios de Interpolación Spline Cubico……...33
7. EjerciciosPropuestos……………………………………………………….42
8. Códigos en MATLAB …………………………………………………………44
9.9 Código de LaGrange……………………………………….44
9.10 Código de Newton………………………………………….46
9.11 Código de Spline Cuadrático……………….………. 48
9.12 Código De Spline Cubico……………………………... 52


INTERPOLACION

1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de lainterpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines). Comencemos dando la definición general.
En la práctica se obtienen datos tabulados.

x | f(x,y) |
- | - |
- | - |
- | - |
- | - |

Se desea obtener una aproximación continua con funciones, para poder obtener valores intermedios que no son considerados en la tabla.2. MÉTODOS DE INTERPOLACIÓN
* Polinomio de Interpolación de LaGrange
* Polinomio de Interpolación de Newton
* Funciones Splines

3. POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE:

DATOS | x | x | x₀ | x₁ | …. | xn | |
| y | f(x) | f(x₀) | f(x₁) | ..... | f(xn) |
Con la condición:
Con la condición:
| | x₀ <x₁ < x₂ <…<xn

x₀ <x₁ < x₂ <…<xn| | | | | |

Objetivo: Encontrar

Pnx=anxn+an-1xn-1+ …… +a1x1+a0
ai∈R , ∀i=1,n
fxi=Pnxi , ∀i=1,n

Fórmula:
Pnx=i=0nLi(x)f(xi)

Lix→Coeficientesde Lagrange

Lix=j=0j≠inx-xjxi-xj , ∀ i=0 , …, n

4.1. Ejemplo:
Interpolar los siguientes datos:
| x₀ | x₁ | x₂ |
x | -2 | 0 | 1 |
f(x) | 0 | 1 | -1 |Como n = 2 el polinomio será:
P2x=i=02Lixf(xi)

P2x=L0xfx0+L1xfx1+L2xfx2

L0x=x-x1x0-x1x-x2x0-x2=x-0(-2)-0x-1(-2)-1

L1x=x-x0x1-x0x-x2x1-x2=x-(-2)0-(-2)x-10-1

L2x=x-x1x2-x1x-x0x2-x0=x-11-1x-(-2)1-(-2)

L0x=16x(x-1)

L1x=-12x+2(x-1)

L2x=13x(x+2)

P2x=L0xfx0+L1xfx1+L2xfx2

P2x=016x(x-1)+1-12x+2x-1-113xx+2

⟹P2x=1-76x-56x2

4. POLINOMIO DE INTERPOLACION DE NEWTON:5.2. DIFERENCIAS DIVIDIDAS:
Idea:
f'x=limh→0fx+h-f(x)h

f'x=fx+h-f(x)h+error

f'x≈fx+h-f(x)h
… Diferencia Dividida
… Diferencia Dividida

f'x≈∆y∆x , f'x≈ y2-y1x1-x2

Ejemplo:
i | 0 | 1 | 2 | 3 |
xi | 0 | 1 | 2 | -1 |
f(xi) | 2 | -1 | 7 | -2 |

Tabla de diferencias divididas:

i | xi | f(xi) | primeradif.dividida | segundadif.dividida | terceradif.dividida |
0 |0 | 2 | -3=-1-21-0 | 112=8-(-3)2-0 | 3=52-11/21-0 |
1 | 1 | -1 | 8=7+12-1 | 52=3-8-1-1 | |
2 | 2 | 7 | 3=-2-7-1-2 | | |
3 | -1 | -2 | | | |

Pnx=fx0+fx0,x1x-x0+fx0,x1,x2x-x0x-x1+…+fx0,x1…xnx-x0x-x1…(x-xn-1)

Donde

fx0,x1…xn es la diferencia dividida de f

f[x0] = 2
f[x0, x1] = -3
f[x0, x1,x2] = 11/2
fx0, x1,x2,x3= 3
⋮

f[x0] = 2
f[x0, x1] = -3
f[x0, x1,x2] = 11/2fx0, x1,x2,x3= 3
⋮

Es el primer valor de la tabla de diferencias divididas:

Ejemplo: Interpolar los datos

i | 0 | 1 | 2 |
xi | 0 | 0.5 | 1 |
f(xi) | 2 | 0.8 | 0.5 |

Solución:

i | xi | f(xi) | primeradif.dividida | segundadif.dividida |
0 | 0 | 1 | -0.4 | -0.2 |
1 | 0.5 | 0.8 | -0.6 | |
2 | 1 | 0.5 | | |

Px=1+-0.4x-0+(-0.2)(x-0)(x-0.5)

Px=-0.2x2-0.3x+1

5....