Métodos Numéricos

E-18.1 | Estime el logaritmo natural de 10 por medio de Interpolación Lineal Simple | | |
| a) Interpole entre log 8 = 0.9030900 y log 12 = 1.0791812. | | | | |
| b) Interpole entre log 9 = 0.9542425 y log 11 = 1.0413927. | | | | |
| Para cada una de las interpolaciones calcule el error relativo porcentual con base en el valor verdadero. |

| |fX1-f(X0)X1-X0 = fX-f(X0)X-X0
fX1-f(X0)X1-X0 = fX-f(X0)X-X0
|
| | | … (1) |
| | | | | |
| De donde se despeja f(X) | | | |
| fX=fX0+ fX1-f(X0)X1-X0 (X-X0)
fX=fX0+ fX1-f(X0)X1-X0 (X-X0)
| | |
| | | … (1) |
| | | |
| | Número | Logaritmo 10 | | |
| | x | f(x) | | |
| | 8 | 0.90308999 | | |
| | 9 | 0.95424251 | | |
| | 11 | 1.04139269 | | |
| | 12 |1.07918125 | | |
| | 10 | 1 | | |
| | | | | |
1a interpolación |   | x | f(x) | Valor verdadero f(4) | E % |
| 0 | 8 | 0.90308999 |   |   |
|   | 10 |   | 0.991135617 | 90.0886438 |
| 1 | 12 | 1.07918125 |   |   |
| | | | | |
2a interpolación |   | x | f(x) | Valor verdadero f(4) | E % |
| 0 | 9 | 0.95424251 |   |   |
|   | 10 |   | 0.997817597 | 90.021824 || 1 | 11 | 1.04139269 |   |   |

E-18.5: Dados los datos, calcule f(4) con el uso de Polinomios de Interpolación de Newton de órdenes 1 a 4. | |
Elija los puntos base para obtener una buena exactitud. | | | | |
¿Qué indican los resultados en relación con el orden del polinomio que se emplea para generar los datos de la tabla? |
Puntos | x | f(x) | | | | |
0 | 1 | 3 | |Puntos | x | f(x) |
1 | 2 | 6 | | 0 | 2 | 6 |
2 | 3 | 19 | | 1 | 3 | 19 |
3 | 5 | 99 | | 2 | 5 | 99 |
4 | 7 | 291 | | 3 | 7 | 291 |
5 | 8 | 444 | | 4 | 8 | 444 |
| 4 | | | | 4 | |
n = 4 | Polinomio de cuarto grado | Se necesitan n+1 = 5 |
f4(x)=b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0) (x - x1)+b3(x - x0)(x -  x1)(x - x2) +b4(x - x0)(x -  x1)(x - x2)(x - x3)
f4(x)=b0+b1(x - x0)+ b2(x -x0) (x - x1)+b3(x - x0)(x -  x1)(x - x2) +b4(x - x0)(x -  x1)(x - x2)(x - x3)

| | | | f[x0]= | 6 |
| | | | f[x1,x0]= | 13 |
b0 | 6 | | | f[x2,x1]= | 40 |
b1 | 13 | | | f[x2,x1,x0]= | 9 |
b2 | 9 | | | f[x3,x2]= | 96 |
b3 | 1 | | | f[x3,x2,x1]= | 14 |
b4 | 0 | | | f[x3,x2,x1,x0]= | 1 |
| | | | f[x4,x3]= | 153 |
| | | | f[x4,x3,x2]= | 19 |
| | | |f[x4,x3,x2,x1]= | 1 |
| | | | f[x4,x3,x2,x1,x0]= | 0 |

| | | Polinomio de cuarto grado: | | | | | |
f4(x)= b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0)(x - x1) + b3(x - x0)(x -  x1)(x - x2)+b4(x - x0)(x -  x1)(x - x2)(x - x3)
f4(x)= b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0)(x - x1) + b3(x - x0)(x -  x1)(x - x2)+b4(x - x0)(x -  x1)(x - x2)(x - x3)
|
| | | | | | | | |
| | | | | | | | || | | f4(x)= | 48 | | | | |
| | | | | | | | |
| | | Polinomio de tercer grado: | | | | | |
| f3(x)= b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0)(x - x1) + b3(x - x0)(x -  x1)(x - x2)
f3(x)= b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0)(x - x1) + b3(x - x0)(x -  x1)(x - x2)
|
| | | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | f3(x)= | 48 | | | | |
| | | Para n=2 | Polinomio desegundo grado | | |
| | f2(x)= b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0)(x - x1) 
f2(x)= b0+b1(x - x0)+ b2(x - x0)(x - x1) 
|
| | | | | | |
| | | | | | | | |
| | | f2(4) | 50 | | | | |
| | | | | | | | |
| | | Polinomio de primer grado | | | | | |
| | | f1(x)= b0+b1(x - x0)
f1(x)= b0+b1(x - x0)
| | | | | |
| | | | | | | | |
|| | f1(4) | 32 | | | | |

E-18.7 | Vuelve a hacer el problema 18.5 con el uso de Polinomios de Lagrange de órdenes 1 a 3. | | |
| | | | | | | | | |
| x | f(x) | | | | | | | |
| 1 | 3 | | Puntos | x | f(x) | | | |
| 2 | 6 | | 0 | 2 | 6 | | | |
| 3 | 19 | | 1 | 3 | 19 | | | |
| 5 | 99 | | 2 | 5 | 99 | | | |
| 7 | 291 | | 3 | 7 |...