Números Imaginarios

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UNIDAD 6: NÚMEROS COMPLEJOS
En el conjunto de los números reales, los números negativos no tienen raíces cuadradas.
Ecuaciones como x2 + 1 = 0 no tienen solución. Los números complejos o imaginarios se crearon para
que los números negativos tuvieran raíces cuadradas.
Estos números se concibieron por medio de una unidad imaginaria llamada i con la convención de que
i2 = –1 o i = − 1 .
Por lodemás suponemos que i se comporta como un número real. Las raíces cuadradas de todos los
números negativos se pueden expresar como un producto de i y un número real
Ejemplo:

− 4 = 4.(− 1) = 4 . − 1 = 2i
−5 =

− 36 =

(− 1).(5) =

− 1. 5 = i 5

(36 )(− 1) =
.

36 . − 1 = 6i

DEFINICIÓN
Llamaremos número complejo a todas las expresiones de la formas a + bi donde a y b sonnúmeros
reales e i es la unidad imaginaria.
Si Z es un número complejos entonces Z = a + b i.

Parte REAL de Z

Parte IMAGINARIA de Z

- Todo número complejo cuya parte real es igual a cero se denomina imaginario puro.
- Todo número complejo cuya parte imaginaria es nula se denomina real.
Por lo tanto los números reales están incluidos en los números complejos; basta considerar a los realescomo complejos de parte imaginarias nulas.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Vemos que la recta queda completa con los números reales, entonces para representar los números
complejos deberemos salir de las recta y recurrir al plano.
El número complejo “a + bi” se representa en el plano mediante el punto de coordenadas (a,b).
El eje abscisas se llama eje real y el de lasordenadas, eje imaginario. De esta forma a cada número
complejo le corresponde un punto en el plano.
Eje imaginario
Eje imaginario

bb

(a+bi)a+bi)
(

a

Pag. 1

a

Eje real

Eje real

REPRESENTACIÓN COMO PAR ORDENADO.
Como un número complejo en el plano se representa por medio de un punto, (y como sabemos los puntos se
representan por medio de pares ordenados), entonces podemosexpresarlo como Z = (a.; b) donde la
primera componente del par ordenado es la parte real y la segunda componente del par ordenado es la parte
imaginaria: a + b i = (a; b)
A todo número complejo le corresponde un único punto P del plano, y un ínico vector geométrico que tiene
por origen el origen de coordenadas y por extremo el punto P. Ese punto P del plano, se denomina “afijo”
del complejo a+ bi
Ejemplo:

5 + 4i = ( 5 ; 4 )

–6 + 8i = ( -6 ; 8 )

REPRESENTACIÓN COMO FORMA POLAR.
Para definir un sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto cualquiera O, denominado
polo y una semirrecta OE denominada eje polar. Marcamos un sentido de rotación que será positivo si el
semieje OE gira en sentido contario a las agujas del reloj. Las coordenadas polares de P son: r= OP
llamado radio vector y φ denominado ángulo polar o argumento. Se escribe P

=rφ

Si el afijo de un complejo viene dado por sus coordenadas polares,
se denomina forma polar del complejo.
La coordenada polar r = x + yi =

x 2 + y 2 recibe el nombre de

módulo del complejo; la coordenada polar φ + 2kπ representa todos
los argumentos del complejo, llamándose a φ + 2kπ argumentogeneral y a φ argumento principal, siendo 0 ≤ φ ≥ 2π
Así se podría escribir r

ϕ

REPRESENTACIÓN COMO FORMA TRIGONOMÉTRICA
Designemos por α y r ( r ≥ 0 ) las coordenadas polares del punto P( x , y ) tomando por polo el origen de
coordenadas y por eje polar, la dirección positiva del eje OX. En este caso tenemos las expresiones
siguientes:
x = r ⋅ Cos α ⎫
⎬ ⇒ x + y ⋅ i = (r ⋅ cos α ) + (r ⋅sen α ) ⋅ i = r ⋅ (cos α + i ⋅ sen α )
y = r ⋅ Sen α ⎭

La expresión r ⋅ (cos α + i ⋅ sen α ) se llama forma trigonométrica del número complejo x + y ⋅ i y las
magnitudes r y α se expresan en función de a y b mediante las fórmulas:
y
y
r = x2 + y 2 ;
= tg α ⇒ α = arctg
x
x
El número r se llama módulo y α argumento del número complejo x + yi . Si α∈[ 0, 2π [, obtenemos el
argumento...
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