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MÉTODO DE RUNGE - KUTTA

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En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la ecuación diferencial de primer orden
Y' = f(X, Y) | | (7) |
con la condicióninicial
Y(X0) = Y0 | | (8) |
consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... | | (9) |
para determinar la solución de la ecuacióndiferencial en
X = X1, X2, X3, ...
Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que
Yn+1 = Yn + h Y'n | | (10) |
expresión que indica que el método de Euler consistegráficamente, en ir de un valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo punto de la soluciónconocida, como se muestra en la siguiente figura.
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De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por latangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1,Yn+1) en donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler, como se muestra en la siguiente gráfica:
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Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con errordel orden de definido por la expresión
| | (11) |
en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver laecuación diferencial, puede decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
| | (12) |
en donde
| | (13) |
en el método de Euler y
| | (14) |
en lo que
Y' = f(X, Y)| | (15) |
en el método de Euler Mejorado.
Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:
1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer únicamente...