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Cap´ ıtulo 3

´ DISTRIBUCION BINOMIAL Y ´ DISTRIBUCION NORMAL
3.1. Introducci´n o

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad m´s importantes y que son a imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estad´ ıstica. La distribuci´n o o binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que s´lo pueden tomar unn´mero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza, u 1654-1705), qui´n escribi´ el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El e o arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matem´ticos m´s importantes de la a a historia. La distribuci´n normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitud ode fen´menos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los o m´s famosos matem´ticos de la historia. La gr´fica de la distribuci´n normal en forma de campana se a a a o denomina Campana de Gauss.

3.2.

La distribuci´n binomial o de Bernoulli o

La distribuci´n binomial est´ asociada a experimentos del siguiente tipo: o a - Realizamos n veces ciertoexperimento en el que consideramos s´lo la posibilidad de ´xito o o e fracaso. - La obtenci´n de ´xito o fracaso en cada ocasi´n es independiente de la obtenci´n de ´xito o o e o o e fracaso en las dem´s ocasiones. a - La probabilidad de obtener ´xito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´n. e o Ve´moslo con un ejemplo a Tiramos un dado 7 veces y contamos el n´mero de cincos que obtenemos.¿Cu´l es la probabilidad u a de obtener tres cincos?. Este es un t´ ıpico ejemplo de distribuci´n binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento o de lanzar un dado. ¿Cu´l es nuestro ´xito?. a e Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos. El fracaso, por tanto, ser´ no sacar 5, sino sacar cualquier otro n´mero. a u 1 ´ Por tanto, Exito = E = “sacar un 5” =⇒ p(E) = 6 5 Fracaso= F = “no sacar un 5” =⇒ p(F ) = 6 Para calcular la probabilidad que nos piden, fij´monos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y e por lo tanto tenemos 3 ´xitos y 4 fracasos, ¿de cu´ntas maneras pueden darse estas posibilidades?. e a Podr´ ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF Pero tambi´n podr´ e ıamos sacar EFEFFFE, es decir que enrealidad estamos calculando de cu´ntas a 38

´ ´ CAP´ ITULO 3. DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL

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maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´xitos. Recordando las t´cnicas combinatorias, este problema e e se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos: 7·6·5 7! = = 35formas 3! · 4! 3·2·1 5 1 e Y por tanto, como p(E) = y tengo 3 ´xitos y p(F ) = y tengo 4 fracasos:6 6 1 1 1 5 5 5 5 p(tener 3 ´xitos y 4 fracasos) = 35 · · · · · · · = 0 0781 e 6 6 6 6 6 6 6
3,4 P7 =

1 Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´xito , e 6 la probabilidad de obtener 3 ´xitos es 0’0781, y lo expresar´ e ıamos: Bin 7; 1 6 , entonces p(X = 3) = 0 0781

Como repetir este proceso ser´ bastante penoso en la mayor´ de los casos,lo mejor es recurrir a la ıa ıa siguiente f´rmula que expresa la probabilidad de obtener cierto n´mero de ´xitos en una distribuci´n o u e o binomial: Definici´n de distribuci´n binomial: o o Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´xito, E, con probabilidad p y e fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribuci´n binomial de o par´metros ny p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´xitos a e viene dada por: n p(X = k) = · pk · q (n−k) k Nota: Observar que las probabilidades de ´xito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p = e 1-q, por lo que basta saber una de ellas para calcular la otra. Ejemplo: Antes ten´ ıamos Bin 7; 1 , y quer´ ıamos calcular p(X=3) (obtener 3 ´xitos)....
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