Nana

UNIVERSIDAD DE LA SABANA
Taller. Matem´ticas III a
1. Verifique si la funci´n dada es una soluci´n de la ecuaci´n diferencial. o o o (a) π d2 y + y = sec x, 0 < x < ; y = (cos x) ln(cos x) + x sen x2 dx 2
x

dy (b) − 2xy = 1; dx

y=e

x2 0

e−t dt + ex

2

2

2. Determine los valores de m para los que la funci´n y(x) = xm es una soluci´n de la o o ecuaci´n diferencial o d2 y dyx2 2 − x − 5y = 0 dx dx 3. Considere la ecuaci´n diferencial o dp = p(p − 1)(2 − p) dt para la poblaci´n p (en miles) de cierta especie en el instante t. o (a) Si la poblaci´n inicial es 3000, ¿qu´puede decir acerca de la poblaci´n l´ o e o ımite lim t→∞ p(t)? (b) Si p(0) = 1.5, ¿cu´l es el valor de lim t→∞ p(t)? a (c) Si p(0) = 0.5, ¿cu´l es el valor de lim t→∞ p(t)? a (d) ¿Puede una poblaci´n de900 crecer hasta 1100? o 4. Utilice la linea de fase para predecir el comportamiento asint´tico de la soluci´n que o o satiface la condici´n dada o (a) y = y cos y, y(0) = 0.5 (b) y = y 3 − 2y 2 + yy(0) = 0.5 5. Determine si la ecuaci´n diferencial es separable, lineal, exacta o ninguna. Resuelva o las ODE. sec2 y dy = dx 1 + x2 (b) y −1 dy + yecos x sen xdx = 0 (a) (c) (t + y + 1)dt − dy = 0 1(d) (y 2 + 2xy)dx − x2 dy = 0 (e) (t + x + 2)dx + (3t + x − 6)dt = 0 dy y (f) + = 5(x − 2)y 1/2 dx x − 2 6. Resuelva el problema con valor inicial si la ODE es separable, lineal o exacta √ (a) ydx+ (1 + x)dy = 0 y(0) = 1 √ dy π −15 2π 2 2 (b) cos x + y sen x = 2x cos x y = dx 4 32 7. Cuando cae una gota de lluvia, ´sta se evapora mientras se retiene su forma esf´rica. e e Si se hacensuposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evapora la gota de lluvia es proporcional a su ´rea superficial y que la resistencia del aire es insignifia cante, entonces un modelo para la velocidadv(t) de la gota de lluvia es 3(k/ρ) dv + v=g dt (k/ρ)t + r0 Aqu´ ρ es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t = 0, k < 0 es la ı constante de proporcionalidad y la direcci´n...