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(Ejercicios relativos a proporcionalidad en general) ZILL ejer. 3.2 (pp. 95-97)


1. La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas que haya en dicho instante. Su población inicial de 1,500 aumenta 25% en 12 años. ¿Cuál será la población después de 25 años?

2.- Inicialmente había 100 miligramos de una sustanciaradiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyo en 3%. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera, proporcional a la cantidad de sustancia en dicho instante, halle la cantidad que queda después de 24 horas.

3.- Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad I disminuye es proporcional a I(h), en donde h representa elespesor del medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 pies bajo la superficie? [Sol. 0.00098 I0; aproximadamente el 0.1% de I0]


4.- Un termómetro se lleva del interior de una habitación al patio de la casa, donde la temperatura del aire es de 5( F, Después deun minuto. El termómetro marca 55 (F; cinco minutos después marca 30(F. ¿Cuál era la temperatura de la habitación?

5. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m en caída sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es
m[pic] = mg ( kv

En donde k es una constante positiva de proporcionalidad positiva.
a) Resuelve la ecuación sujeta a lacondición inicial v(0)=v0.
b) Determina la velocidad límite, o Terminal, de la masa.
c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad de caída mediante[pic], deduce una ecuación explícita para s, sabiendo que s(0)=s0.
d) s, sabiendo que s(0)=s0.

(Ejercicios varios) BRAUN


6. Un tumor canceroso satisface la relación gompertziana. Inicialmente, cuando contenía 104 células, el tumorcrecía a una tasa de 20 % por unidad de tiempo. El valor numérico de la constante de retardo es 0.02. ¿Cuál es el valor límite de las células en este tumor?

7. Se inyecta una dosis trazadora o señaladora de yodo radioactivo I131 en el flujo o torrente sanguíneo en el tiempo t=0. Suponga que la cantidad inicial Qo de yodo se distribuye homogéneamente en el flujo antes de cualquier pérdida. Denótesepor Q(t) la cantidad de yodo en la sangre en el tiempo t>0. Una parte del yodo es eliminado de la sangre y pasa a la orina a una tasa k1Q. Otra parte del I131 es retenido en la glándula tiroides a una tasa k2Q. Calcule Q(t).

ZILL ejer. 3.2

8.- Un gran depósito está lleno con 300 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 2 lb. de sal por galón se bombea al tanque a razón de 4 gal/min;la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Halle el número de libras A(t) de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

9. La rapidez con que un medicamento se disemina en el flujo sanguíneo se rige por la ecuación diferencial
[pic] = A ( BX
en donde A y B son constantes positivas. La función X(t) describe la concentración del fármaco en el flujosanguíneo en un instante t cualquiera. Halle el valor límite de X cuando t((. ¿Cuánto demorará la concentración en alcanzar la mitad de este valor límite? Suponga que X(0)=0.




ZILL ejer. 3.3 (pp. 96-97): 1 y 2


10. El número de supermercados C(t) en todo el país que usan un sistema de control por computadora de los horarios de salida se describe por medio del problema de valor inicial[pic]= C(1(0.0005C), t > 0 C(0) = 1
¿Cuántos supermercados estarán usando dicho sistema cuando t=10? ¿Cuántas empresas se estima que adoptarán el nuevo procedimiento en el futuro?

11. El número de personas N(t) de una comunidad que verán cierto aviso publicitario se rige por la ecuación logística. Inicialmente N(0)=500 y se observa que N(1)=1000. Si se predice que el número límite de...
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