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Publicado: 12 de agosto de 2012
TERCERA UNIDAD UNIDAD: POLINOMIOS
Algoritmo de la división:
Sean P ( x ) y D ( x ) dos polinomios reales , si D ( x ) [pic], entonces existen únicos polinomios Q ( x ) llamado cuociente y R ( x ) llamado resto,tales que P ( x ) = D ( x )[pic] Q ( x ) + R ( x ) , con R ( x ) = 0 o
grado R ( x )[pic]< grado D ( x ).
Teorema del resto:
El resto que se obtiene al dividir P( x ) por ( x – a ) es igual a P ( a ).
Teorema del factor:
El polinomio ( x – a ) es un factor de P ( x ) si y sólo si P ( a ) = 0. Luego, ( x – a ) es un factor de P ( x ) si y sólo si a es una raíz de P ( X ).
Raices racionales de plinomios con coeficientes enteros:
Si los coeficientes del polinomio de grado n, n > 0, [pic] , son números enteros, entonces las posibles raícesracionales del polinomio son de la forma [pic] , donde a es un factor de [pic] y b es un factor de [pic]
Relación entre coeficientes y raices de un polinomio:
Si [pic] ,es un polinomio real y [pic] ,son raíces del polinomio,entonces : [pic] , [pic]
Regla de los signos de Descartes:
Si P ( x ) es un polinomio con coeficientes reales ,entonces:
a) El número de cerosreales positivos de P ( x ) es igual al número de variaciones de signos de P ( x ) o es menor,en un entero par,que éste.
b) El número de ceros reales negativos de P ( x ) es igual al número de variaciones de signos de P ( - x ) o es menor,en un entero par,que éste.
Ejercicios:
1. En cada caso, realice la división entre P(x) y D(x), determine los polinomios cuociente Q(x), restoR(x) y exprese P(x) en la forma P(x) = Q(x) D(x) + R(x).
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
2. Utilizando la división sintética determine el cuociente y el resto de cada división.
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]f) [pic]
3. Utilizando división, demuestre que el segundo polinomio es un factor del primero; luego determine el otro factor.
a) [pic] [pic]
b) [pic] [pic]
c) [pic] [pic]
d) [pic] x - 2
e) [pic] x + 2
f) [pic] [pic]
4. Encuentre el valor de k de manera que el segundo polinomio sea un factor del primero:a) [pic] x - 4
b) [pic] x + 2
c) [pic] x - 1
5. Determine los valores reales de h y k de modo que los binomios x – 3 y x + 2 sean factores de [pic].
6. Determine los valores de los números reales a, b y c tales que [pic] sea un factor de [pic].
7. Demuestre que el polinomio [pic] es divisible por (x – 2a) y (x – b).
8. En cada caso,encuentre los valores del número real a de modo que:
a) [pic] sea divisible por (x – 2).
b) [pic] sea divisible por (x – 3).
9. Determine un polinomio de grado 3 de la forma [pic] tal que al dividirlo por (x – 2) se obtenga resto 3, al dividirlo por (x – 1) se obtenga resto 2 y al dividirlo por (x + 1) el resto sea 4.
10. Encuentre un polinomio que tenga porraíces a los números 2 y 3, y que el resto sea 4 al ser dividido por (x – 4).
11. Determine las raíces reales de los siguientes polinomios:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
12. Factorice los siguientes polinomios en factores lineales o cuadráticos irreductibles en IR.
a) [pic]
b) [pic]c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
i) [pic]
j) [pic]
13. Sabiendo que c es una raíz del polinomio P(x), exprese P(x) en factores lineales.
a) [pic] c = 2
b) [pic] c = -2
c) [pic] c = 3
d) [pic] c = -11
14. Dados los polinomios [pic] y [pic], calcule los valores de las...
Algoritmo de la división:
Sean P ( x ) y D ( x ) dos polinomios reales , si D ( x ) [pic], entonces existen únicos polinomios Q ( x ) llamado cuociente y R ( x ) llamado resto,tales que P ( x ) = D ( x )[pic] Q ( x ) + R ( x ) , con R ( x ) = 0 o
grado R ( x )[pic]< grado D ( x ).
Teorema del resto:
El resto que se obtiene al dividir P( x ) por ( x – a ) es igual a P ( a ).
Teorema del factor:
El polinomio ( x – a ) es un factor de P ( x ) si y sólo si P ( a ) = 0. Luego, ( x – a ) es un factor de P ( x ) si y sólo si a es una raíz de P ( X ).
Raices racionales de plinomios con coeficientes enteros:
Si los coeficientes del polinomio de grado n, n > 0, [pic] , son números enteros, entonces las posibles raícesracionales del polinomio son de la forma [pic] , donde a es un factor de [pic] y b es un factor de [pic]
Relación entre coeficientes y raices de un polinomio:
Si [pic] ,es un polinomio real y [pic] ,son raíces del polinomio,entonces : [pic] , [pic]
Regla de los signos de Descartes:
Si P ( x ) es un polinomio con coeficientes reales ,entonces:
a) El número de cerosreales positivos de P ( x ) es igual al número de variaciones de signos de P ( x ) o es menor,en un entero par,que éste.
b) El número de ceros reales negativos de P ( x ) es igual al número de variaciones de signos de P ( - x ) o es menor,en un entero par,que éste.
Ejercicios:
1. En cada caso, realice la división entre P(x) y D(x), determine los polinomios cuociente Q(x), restoR(x) y exprese P(x) en la forma P(x) = Q(x) D(x) + R(x).
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
2. Utilizando la división sintética determine el cuociente y el resto de cada división.
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]f) [pic]
3. Utilizando división, demuestre que el segundo polinomio es un factor del primero; luego determine el otro factor.
a) [pic] [pic]
b) [pic] [pic]
c) [pic] [pic]
d) [pic] x - 2
e) [pic] x + 2
f) [pic] [pic]
4. Encuentre el valor de k de manera que el segundo polinomio sea un factor del primero:a) [pic] x - 4
b) [pic] x + 2
c) [pic] x - 1
5. Determine los valores reales de h y k de modo que los binomios x – 3 y x + 2 sean factores de [pic].
6. Determine los valores de los números reales a, b y c tales que [pic] sea un factor de [pic].
7. Demuestre que el polinomio [pic] es divisible por (x – 2a) y (x – b).
8. En cada caso,encuentre los valores del número real a de modo que:
a) [pic] sea divisible por (x – 2).
b) [pic] sea divisible por (x – 3).
9. Determine un polinomio de grado 3 de la forma [pic] tal que al dividirlo por (x – 2) se obtenga resto 3, al dividirlo por (x – 1) se obtenga resto 2 y al dividirlo por (x + 1) el resto sea 4.
10. Encuentre un polinomio que tenga porraíces a los números 2 y 3, y que el resto sea 4 al ser dividido por (x – 4).
11. Determine las raíces reales de los siguientes polinomios:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
12. Factorice los siguientes polinomios en factores lineales o cuadráticos irreductibles en IR.
a) [pic]
b) [pic]c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
i) [pic]
j) [pic]
13. Sabiendo que c es una raíz del polinomio P(x), exprese P(x) en factores lineales.
a) [pic] c = 2
b) [pic] c = -2
c) [pic] c = 3
d) [pic] c = -11
14. Dados los polinomios [pic] y [pic], calcule los valores de las...
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