Newton raphson

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METODO DE NEWTON-RAPHSON
¿En qué casos el método de Newton-Raphson es lento para calcular una raíz de la ecuación? ¿Cómo solucionar esta situación?
¿Cómo evitar la primera derivada en elplanteamiento del método de Newton-Raphson?
R/

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades. Un caso especial es en el de las raícesmúltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia, el delta de x se acerca a cero muy lentamente o no se acerca.

Este método no siempretrabaja bien puesto que se encuentra con problemas en varias partes. Existen casos en los que f´ (x)=0, en los cuales se tendrá una error de división por cero, y no se podrá resolver.
El orden deconvergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno, el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a serlineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.
Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de laconvergencia tipo Δ² de Aitken o el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:Este método exige conocer de antemano la multiplicidad de la raíz, lo cual no siempre es posible. Por ello también se puede modificar el algoritmo tomando una función auxiliar g(x) = f(x)/f'(x),resultando:

Su principal desventaja en este caso sería lo costoso que pudiera ser hallar g(x) y g'(x) si f(x) no es fácilmente derivable.
Por otro lado, la convergencia del método se demuestracuadrática para el caso más habitual en base a tratar el método como uno de punto fijo: si g'(r)=0, y g' '(r) es distinto de 0, entonces la convergencia es cuadrática. Sin embargo, está sujeto a las...
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