Ni udea

Transformaciones lineales
Definición Ejemplos Propiedades

c Jana Rodriguez Hertz – p. 1/1

transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K,

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal acualquier función T :V→W que verifique

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T :V→W que verifique T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) para todo v1 , v2 ∈ V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

transformaciones lineales
Dados V y W e.v. sobre K, llamamos transformación lineal a cualquier función T:V→W que verifique T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ) para todo v1 , v2 ∈ V T (λv) = λT (v) para todo v ∈ V y λ ∈ K

c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn y W = Km .

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn y W = Km .Entonces A ∈ Mm×n (K) determina

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km A.(X + Y ) = A.X + A.Y X, Y ∈ Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 -producto por una matriz
Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km A.(X + Y ) = A.X + A.Y A.(λX) = λA.X X, Y ∈ Kn X ∈ Kn y λ ∈ K

c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 1 - producto por una matriz
Sea V = Kn y W = Km . Entonces A ∈ Mm×n (K) determina A : Kn → Km A.(X + Y ) = A.X + A.Y A.(λX) = λA.X X, Y ∈ Kn X ∈ Kn y λ ∈ K

⇒ A es una transformación lineal

c JanaRodriguez Hertz – p. 3/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n,

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos

cJana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn siv = λ1 v1 + · · · + λn vn

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensión n, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn si v = λ1 v1 + · · · + λn vn la transformación coordB : V → Kn es lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 2 - coordenadas
Dado V e.v. sobre K de dimensiónn, y dada B = {v1 , . . . , vn } base de V para cada v ∈ V teníamos coordB (v) = (λ1 , . . . , λn ) ∈ Kn si v = λ1 v1 + · · · + λn vn la transformación coordB : V → Kn es lineal

c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/1

Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R),

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0(R) f → df verifica

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0 (R) f → df verifica d(f + g)(x) = df (x) + dg(x)

c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/1

Ejemplo 3 - derivada
Sean V = C 1 (R) y W = C 0 (R), la transformación d : C 1 (R) → C 0 (R) f → df verifica d(f + g)(x) = df (x) + dg(x) d(λf )(x) = λdf (x)

c...