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CAPITULO II

Descripciones espaciales y transformaciones

INTRODUCCION

La robótica implica el desplazamiento de piezas y herramientas en el espacio, haciendo uso de algún mecanismo. Para ello se hace necesaria la representación de variables que indiquen posición y orientación mediante la definición de sistemas de coordenadas y convenciones para su representación.

DESCRIPCIONES:POSICIONES, ORIENTACIONES Y TRAMAS

Una descripción se utiliza para especificar los atributos de piezas, herramientas y el manipulador en si.

Descripción de una posición

Definido el sistema de coordenadas, podemos ubicar un punto en el espacio mediante un vector de posición, este por lo general es de 3x1 y su información debe identificar el sistema definido. Para este caso lo vectores presentanuna característica en particular, los vectores se escriben con un subíndice a la izquierda.

A Px
P = Py fig 1 Sistema de coordenadas llamado A.
Pz

Px, Py, Pz son vectores unitarios, el vector P define la posición en el espacio.

Descripción de una orientación

A parte de la representación de un punto en el espacio es necesariodescribir la orientación de un cuerpo en el espacio.

{A} z


y

x Fig 2 vector relativo a la trama

Fig 3. Ubicación de un objeto en posición yorientación

El vector ubica el punto en medio de los dedos del manipulador, la ubicación de la mano se especifica solo hasta que se identifique su orientación. Para describir la orientación de un cuerpo, se adjunta un sistema de coordenadas al cuerpo y luego daremos una descripción de este sistema de coordenadas relativo al sistema de referencia.

Fig 4.

La matriz de 1x3 identifica losvectores unitarios adjuntos, y la matriz de 3x3 se denomina matriz de rotación, esta describe a {B} en forma relativa {A}. y se denota como se ve en la fig. “matriz 1x3”. Siempre que se represente la posición de un punto con un vector, la orientación de un cuerpo se representara con una matriz.

Las componentes de cualquier vector son simplemente las proyecciones de ese vector en las direccionesunitarias de su trama de referencia.
Cada componente puede escribirse como el producto punto de un par de vectores unitario para el caso de escalares.


Como el producto punto de dos vectores unitarios es el coseno del Angulo entre ellos, es claro del porque a los componentes de la matrices de rotación se les llama cosenos de dirección.

Las filas de la matriz son vectores unitariosde {A} expresados en {B}.




La inversa de una matriz de rotación es igual a su traspuesta;




Descripción de una trama

La información necesaria para especificar completamente en donde se encuentra la mano del manipulador es una posición y una orientación. Entonces, el punto cuya posición describiremos se elige como el origen de la trama adjunta al cuerpo.

Trama:conjunto de 4 vectores que proporcionan información sobre la posición y orientación. La descripción de una trama puede definirse como un vector de posición y una matriz de rotación.

Ejemplo


La trama {B} se describe mediante



Es el vector que ubica el origen de la trama {B}. Una trama se describe mediante tres flechas que representan vectores unitarios, los cuales definen losejes principales de la trama. Es necesario dibujar la flecha que representa un vector que va de un origen hacia el otro. Este vector representa la posición del origen en la punta de la flecha, en términos de la trama en la cola de la flecha. Una trama puede utilizarse como una descripción de un sistema de coordenadas relativo a otro. Las posiciones podrían representarse mediante una trama cuya...
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