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Contenido

1 razones de cambio

2. pasos para resolver problemas de razones de cambio

3. Problemas de Razones de cambio

4.bibliografia

RAZON DE CAMBIO

Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, implícitamente, dy /ty de una función y = f(t). Así, por ejemplo, d/dt ( y n) = n y n-1 dy/ty.

Otra aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones de cambio dedos o más variables que cambian con el tiempo; o sea; qué tan rápido varia una cantidad en el tiempo?
Por ejemplo, suponga que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que se muestra en la figura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, el radio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones que dependen del tiempo t.Estas tres variables están relacionadas entre sí, por la ecuación del volumen del cono; a saber:
V = (3,1416) (r)2 h (*)
3

Por otra parte, derivando implícitamente ambos lados de (*) respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuación derazones relacionadas:dv = { 2 r h dr + (r)2 dh }
dt dt dt


Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a lasrazones de cambio de la altura y del radio, en donde:

dv es la razón o rapidez a la cual varia el volumen con respecto al tiempo
dt

dr es la razón o rapidez a la cual varia el radio con respecto al tiempo
dt

dh es la razón o rapidez a la cual varia la altura con respecto al tiempo
dtAsí, por ejemplo:
dv = 10m3/seg significa que el volumen está aumentando 10m3 cada segundo;
dt
Mientras que:
dV = -10m3/seg significa que el volumen está disminuyendo 10m3 cada segundo.
dt

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de razones de cambio (o tasas relacionadas), se calcula la rapidez con que cambia una cantidad en términos de la razón de cambio de otra(s)cantidad(es).

Pasos para resolver problemas de razones de cambio
(1) De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación planteada.

(2) Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las cantidades por determinar que varían con el tiempo.
(3) Analizar el enunciado del problema y distinguir cuáles razones de cambio se conocen y cuál es la razón de cambio
que se requiere.

(4)Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones de cambio están dadas o han de determinarse.

(5) Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo t, con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas.

(6) Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores conocidos de las variablesy sus razones de cambio a fin de deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es hasta en este momento, que se hacen las sustituciones de acuerdo con los datos del problema)

Problemas de razones de cambio
Ejercicio 1
Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros...
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