Nivelacion Topografica








Introducción

Continuando con el estudio de las diversas utilidades que nos pueden ofrecer las ecuaciones diferenciales en la ingeniería, ahora representaremos el uso que se les puedan tener estas, utilizando las condiciones de frontera que se plantearan. Estas aplicaciones son de gran ayuda en las diversas labores relacionadas con el análisis de estructuras, campo de estudio porexcelencia de la ingeniería civil.
Se introduce a partir de aquí la ecuación diferencial para la deflexión en vigas y se identifican los diferentes tipos de condición de frontera. Las ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un elemento de viga aislado. Se detallara más a fondode lo que son estas condiciones en el desarrollo de este informe, además de resolver el problema propuesto para cumplir los objetivos presupuestados en la clase.


Objetivo general

Poder darle un buen uso al método de valores en la frontera en ecuaciones diferenciales, para resolver problemas de la vida real, en este caso en particular, las deflexiones en vigas.


Objetivos específicosExplicar conceptos tales como la curva de deflexión o curva elástica.

Tener la capacidad deducir la ecuación diferencial para la deflexión de vigas a partir de la teoría de elasticidad considerando ciertas limitaciones.

Encontrar las soluciones sujetas a condiciones sobre una función desconocida, en este caso especificadas en dos o más valores de la variable independiente.

Demostraruna vez más las razones por las cuales se deben cursar estas asignaturas que son de gran utilidad en los campos de la ingeniería.


Definición (Problema de Valor Inicial)
Un problema de valor inicial o de Cauchyconsta de una ecuación diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.Es decir:






Ejemplo
Una partícula Pse mueve a lo largo del eje x de manera tal que su aceleración en cualquier tiempo t ≥0 está dada por a (t)= 8−4t + t2. Encuentre la posición x(t) de la partícula en cualquier tiempo t, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en x= 1 y está viajando a una velocidad de v= -3.
Recuerde que la primera derivada de la posición nos da lavelocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería




Integrando con respecto a xobtenemos



y usando la condición x(0)= 1 podemos hallar que A= -3, con lo cual la velocidad en cualquier tiempo tsería:





Integrando de nuevo



y usando la condición x’(0)= -3podemos determinar que B= 1y obtener la posición de la partícula encualquier tiempo t



Definición (Problema de Valor Frontera)
Un problema de valores en la frontera o de Dirichlet consta de una ecuación diferencial ordinaria de orden n y de n condiciones de frontera impuestas sobre la función desconocida en n valores de la variable independiente. Es decir:






 
Ejemplo
Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de manera tal que su aceleraciónen cualquier tiempo t ≥ 0 está dada por a (t) = 8−4t + t2. Encuentre la posición x (t) de la partícula en cualquier tiempo t, suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en x= 1, y en t= 2 está en x= 7.
El problema de valores de frontera asociado es:




Integrando dos veces obtenemos que la posición de la partícula está dada por:



Evaluando las condiciones de fronteraobtenemos el siguiente sistema




de donde A= -3 y B= 1. Y así la posición de la partícula en cualquier tiempo está dada por:




Diferencia entre un Problema de Valor Inicial y Valor de Frontera
En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da...