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1. Dados los puntos A(1, 3, 4), B(−1, 2, 3) y C(−2, 0, 1)
a) Encontrar la ecuaci´n sim´trica de la recta L que contiene a los puntos A y B.
o
e
Soluci´n.
o
−
−
→
El vector director d dela recta L se puede obtener como: d = AB = (−1, 2, 3) − (1, 3, 4) =
(−2, −1, −1) As´ la ecuaci´n sim´trica (cartesiana) de la recta L que pasa por A(1, 3, 4)
ı,
o
e
est´ dada por:
a
x−1
y−3z−4
=
=
−2
−1
−1
Criterio.
2 Puntos por encontrar el vector director.
3 Puntos por encontrar la recta.
b) Determine el punto en la recta encontrada en a) tal que la distancia del punto C a larecta
L sea m´
ınima.
Soluci´n.
o
Debido a que la distancia entre un punto y una recta se alcanza de manera perpendicular,
el punto Q en la recta que determina la distancia, viene dado por laproyecci´n de un vector
o
u sobre la recta, o mejor dicho, sobre el vector director d de la recta. El vector u puede ser
cualquiera que va desde un punto Q de la recta hasta el punto C(−2, 0, 1).Consideremos
−
→
que u = AC. Haga un dibujo para ilustrar la situaci´n.
o
x−1
y−3
z−4
La recta L viene dada por la ecuaci´n:
o
=
=
de modo que d =
−2
−1
−1
−
→
(−2, −1, −1) y u = AC =(−2, 0, 1) − (1, 3, 4) = (−3, −3, −3). As´ la proyecci´n es:
ı
o
−
→
(−3, −3, −3) · (−2, −1, −1)
AQ = Proyd u =
(−2, −1, −1) = (−4, −2, −2)
(−2, −1, −1) 2
Por lo tanto, el punto Q en la recta Les: Q(−3, 1, 2)
Criterio.
2 Puntos por encontrar el vector u.
2 Puntos por encontrar la proyecci´n.
o
1 Punto por encontrar el punto Q en la recta.

1

c) Encuentre la ecuaci´n del plano Πperpendicular a la recta L obtenida en a) y que pasa por
o
el punto C.
Soluci´n.
o
El plano Π perpendicular a la recta L debe tener como vector Normal al mismo vector
director de la recta L. Luego,si C(−2, 0, 1) y (x, y, z) son puntos en el plano, su ecuaci´n
o
es: Π : (−2, −1, −1) · (x + 2, y, z − 1) = 0. As´
ı,
Π

:

2x + y + z = −3

Criterio.
2 Puntos por encontrar el...