No Es Nada

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
NÚCLEO COSTA ORIENTAL DEL LAGO
PROGRAMA DE INGENIERÍA
UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO I

LÍMITES

Instructivo de trabajo

Autor: Ing. Roger J. Chirinos S., MSc.


Ciudad Ojeda, Noviembre de 2010

Definición informal de Límite
Sea f(x) una función definida en un intervalo abierto quecontiene a “a”, posiblemente excepto en “a”. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de a, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxime a “a”, y se escribe:
limx→afx=L
Definición formal de Límite
Sea f(x) una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a “a” posiblemente excepto en el mismo número “a”. Se diceque el límite de la función f(x) cuando x tiene a “a” es L y se escribe:
limx→afx=L
Si para cada ε>0, existe un δε>0 tq si 0<x-a<δ ⇒fx-L<δ
Teoremas sobre límites de funciones algebraicas
Teorema 1:Si a∈R entonces:
limx→ax=a
Teorema 2: Límite de una constante. Si c = cte entonces
limx→ac=c
Teorema 3: Límite de una combinación lineal. Si c = cte y f(x) es una función,entonces
limx→ac.fx=c. limx→af(x)
Teorema 4: Si m = cte y b = cte, entonces
limx→a(mx+b)=ma+b
Teorema 5: Límite de una suma.
Si limx→agx=G y limx→ahx=H con G, H ∈R, entonces
limx→a g(x)+h(x)= limx→agx+limx→ahx=G+H
Teorema 6: Límite de una diferencia
Si limx→agx=G y limx→ahx=H con G, H ∈R, entonces
limx→a gx-h(x)= limx→agx-limx→ahx=G-H
Teorema 7: Límite de un producto
Si limx→agx=G ylimx→ahx=H con G, H ∈R, entonces
limx→a gx*h(x)= limx→agx*limx→ahx=G*H
Los teoremas 5,6 y 7 pueden ser aplicados para cualquier número finito de funciones
Teorema 8: Límite de un Cociente
Si limx→agx=G y limx→ahx=H con G, H ∈R con H≠0, entonces
limx→a g(x)h(x)= limx→agxlimx→ahx=GH
Teorema 9: Límite de una potencia
Si limx→agx=G y m, n∈Z con n≠0, entonces
limx→agxm/n= limx→agxm/n=Gm/n
Dos consecuencias inmediatas del teorema 9 son los colorarios 9.1 y 9.2
Colorario 9.1: Si en el teorema 9 se hace n = 1 y g(x) = x entonces
limx→axm=am
Corolario 9.2: Límite de una raíz. Si n es un número entero ositivo para L≥0 y en el teorema 9, se hace m = 1, entonces:
limx→angx= limx→agx1/n =G1/n
Teorema 10: Límite de un polinomio. Si P(x) es una función polinómica y a∈Rlimx→aPx=P(a)
Teorema 11:
Si limx→agx=G y limx→ahx=H con G, H ∈R*, entonces
limx→ag(x)h(x)=limx→ag(x)limx→ah(x)=GH
Teorema sobre límites de funciones trigonometricas
Sea “a” un número real en el dominio de la función trigonométrica dada, entonces:
Teorema 12:
limx→asen(x)=sen(a)
Teorema 13:
limx→acos(x)=cos (a)
Teorema 14:
limx→atg(x)=tg(a)
Teorema 15:
limx→acsc(x)=csc(a)Teorema 16:
limx→asec(x)=sec(a)
Teorema 17:
limx→actg(x)=ctg(a)
Dos límites trigonométricos importantes
Teorema 18:
limx→0sen (x)x=1
Teorema 19:
limx→01-cos(x)x=0
Teoremas sobre límites de funciones transcendentales
Teorema 20:
limx→aex=ea
Teorema 21:
limx→alogb(x)=logb(a)
Una consecuencia inmediata del teorema 21 es el colorario 21.1, haciendo 21.1 b = e, se obtieneel logaritmo natural o Neperiano, teniendo que:
Logex=Ln (x)
Colorario 21.1
limx→alogb(x)=lna ∀ a>0
Límites Unilaterales
Límites por la derecha: Se dice que f(x) tiene un límite por la derecha L en “a" y se escribe
limx→a+fx=L si ∀ε>0 ∃ δ>0 tq ∀ a<x<a+δ ⟹fx-L< ε
Límites por la izquierda: Se dice que f(x) tiene un límite por la izquierda L en “a" y se escribelimx→a-fx=L si ∀ε>0 ∃ δ>0 tq ∀ a-δ<x<a ⟹fx-L< ε
Teorema 22:
El límite de f(x) existe y es igual a L sii
limx→a+f x y limx→a-f(x) existen y son iguales a L
Límites al infinito
Se dice que f(x), tiene un límite L cuando x tiende a más infinito y se escribe
limx→+∞f x=L si ∀ε>0 ∃M tq ∀x>M ⇒ fx-L<ε
Se dice que f(x), tiene un límite L cuando x tiende a menos...