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FACULTAD DE FÍSICA E INTELIGENCIA ARTIFICIAL DEPARTAMENTO DE FÍSICA CURSO DE MÉTODOS NUMÉRICOS

MODELADO Y SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL SALTO EN
BUNGEE MEDIANTE MÉTODOS NUMÉRICOS
ANA MARÍA ACOSTA ROA SILVANO U LICES QUE SALINAS

SINOPSIS. En este trabajo, se utilizan ecuaciones diferenciales para modelar un salto en bungee, éstas se conjuntan en una sola que es resuelta por elMétodo de RungeKutta. Se hace una interpolación polinimial para la envolvente de la gráfica obtenida y se obtienen los coeficientes de dicho polinomio, resolviento una matriz por el Método de Gauss. Además se puede decidir si calcular la fuerza que actúa sobre el cuerpo para cada momento, así como la energía potencial para cada altura. INTRODUCCIÓN Para diseñar un bungee, las compañías que los creandeben saber si la persona corre peligro de tener contacto con el suelo debido a las características de la cuerda, entre otras cosas. A continuación, se presenta una ecuación que modela el salto en bungee de una persona de acuerdo con su peso utilizando ecuaciones diferenciales. Posteriormente, dicha ecuación será resuelta mediante métodos numéricos. Así mismo, se empleo un método numérico no vistoen el curso: Regresión polinomial: Supongamos que se conocen los datos números distintos y se desea encontrar un polinomio

tal que

sea mínima. Volviendo a la función S(a0, a1,..., am) , una condición necesaria para la existencia de un mínimo relativo de esta función es que las derivadas parciales de S(a0, a1,..., am) con respecto a aj, j =0,1,...,m sean cero. Resultan entonces lassiguientes m+1 ecuaciones lineales en las incógnitas a0,a1,…, am:

Este es un sistema de m+1 ecuaciones lineales en las m1 incógnitas a0, a1,..., am , que se llama sistema de ECUACIONES NORMALES. Este sistema de ecuaciones normales se puede escribir en forma simplificada como sigue:

Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de multiplicando a ambos lados por xjx, j =0,1,...,m,

y luegosumando sobre k

En el caso particular en que m=1, (p1x)=a0a1x es la recta de mínimos cuadrados donde a0 y a1 se obtienen resolviendo el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

OBJETIVOS 1. Para cualquier tiempo t, obtener la posición de un cuerpo sujeto a una plataforma por una cuerda elástica considerada como un resorte de constante k, que cae desde ésta con condicionesiniciales h(0) y V(0). 2. Presentar gráficamente el desplazamiento de dicho cuerpo con respecto a t. 3. Realizar una regresión polinomial para la envolvente de la gráfica de t vs h. 4. Brindar la opción de calcular la energía potencial del cuerpo para una altura h, así como la fuerza total que actúa sobre el mismo en cada momento. 5. Determinar si la persona es apta para lanzarse de un bungee conlas mismas carácterísticas de este, sin que haya peligro de que su peso la haga chocar con la superficie. DESARROLLO

1

V=0, h=0

Caída libre, resistencia del aire

2

V es máximo, h1=30.5m, bungee sin estirar

Liga del bungee estirada

3

V=0, h2=60m

Figura 1. Modelado del salto en bungee.’

En el sistema de referencia el origen es la plataforma y se considera positivo el eje–y. Las variables utilizadas son: m: masa del saltador en bungee g: aceleración gravitatoria ß: coeficiente de fricción del aire V: velocidad

k: constante de la liga a: acceleración h: distancia desde la plataforma h1: longitud de la liga del bungee sin estirar h2: longitud máxima de la liga del bungee bajo los efectos del peso del saltador. Para obtener nuestra ecuación diferencial, primero sebusca modelar la caída entre los puntos 1 y 2 (Figura 1). En esta parte, es cuando la persona que salta está en caída libre. La fuerza neta es entonces la fuerza debida a la gravedad menos la fuerza de fricción ejercida por el aire, o sea: ma = mg – ßV [1] Posteriormente, entre los puntos 2 y 3 de la figura 1, la fuerza ejercida por la liga del bungee está actuando sobre la persona que salta,...