Nociones de calculo diferencial

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EL CONCEPTO DEL LÍMITE.

Cuando se habla de limites tratamos de referirnos a la pregunta ¿Qué valor tomaría una variable dependiente cuando alguna variable explicativa tiende a algún valordeterminado. Presentar graficas con limites (y, x, N y L).

ENTORNO DEL LÍMITE.

Es un intervalo abierto que contiene a L. (L – a1) < L < (L + a2), donde a1 y a2 son números positivos.

LIMITE.

Dadoque (x) tiende a un numero N, el limite de la función (y), es decir y=f(x), será el numero L, si para todo entorno de L por pequeño que sea (excluyendo a L), existe en el dominio de la función unentorno de N (excluyendo a N) tal que para todo valor de (x) en el entorno de N, su imagen cae dentro del entorno de L.

TEOREMAS DE LOS LÍMITES.

T1. Si y=ax, entonces [pic]

T2. Si y=a,entonces [pic]

T3. Si y=x, entonces [pic]

T4. Si y=[pic], entonces [pic]

T5. Si y=f(x), u=f(x), … y z=f(x), entonces

[pic]

T6. [pic]

T7. [pic]

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNSe dice que una función es continua cuando:

- El punto N al que tiende la variable independiente (x) existe en el dominio de la función.
- La función (y) debe tener limite cuando (x)tiende a N.
- El valor del limite, L, cuando (x) tiende a N debe ser igual al valor que tomaría la función (y) si se evalúa en N.

DIFERENCIABILIDAD DE UNA FUNCION.

Este termino se aplica cuandocalculamos el limite del cociente o razón de las diferencias o incrementos de la función (y), (y2 – y1) y la variable independiente (x), (x2 – x1), dado que el incremento de (x) tienda a cero. SeTarata de encontrar si la funcion (y) es derivable en el punto x1.

Hay que tener en cuenta que para que una función sea diferenciable en cierto punto x1 la función en principio tiene que ser continua,mas las funciones continuas no tienen porque ser diferenciables. Así si una función es diferenciable también será continua, pero no todas las funciones continuas son diferenciables.

DERIVADAS....
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