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FACTORIZACIÓN (Objetivo 1.3) Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio): se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son elresultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. Ejemplos: a) Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2ª . El factor común (FC) en los dos términos es a por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de: a2 2a a 2 2a + = + = a + 2 , por lo tanto: a (a+2). Así: a 2 + 2a = a (a + 2) FC FC a a b) Descomponer (o factorizar) 10b -30ab. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se toma el mayor factor común. El factor común (FC) es 10b. Por lo tanto: 10b - 30ab 2 = 10b (1 - 3ab) c) Descomponer: 18mxy 2 - 54m 2x 2y 2 + 36 my 2 = 18my 2(x - 3mx 2 + 2) d) Factorizar 6x y 3 - 9nx 2y 3 + 12nx 3y 3 - 3n 2x 4y 3 = 3x y 3(2 - 3nx + 4nx 2 - n 2x 3) Caso 2. Factorización por factorcomún (caso polinomio) a) Descomponer x (a + b ) + m (a + b ) Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea: x (a + b) m (a + b) = x= m y se tiene: y (a + b) (a + b) x (a + b ) + m (a + b ) = (a +b )(x + m )

b) Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1) El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos: 2 x ( a − 1) − y ( a − 1) = 2x y = − y , luego: ( a − 1) ( a − 1) 2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )

c) Descomponer m (x + 2) + x + 2 Se puede escribir esta expresión así: m (x + 2) + (x + 2) = m(x + 2) + 1(x + 2) El factor común es (x + 2) con lo que: m (x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)

d) Descomponer a (x + 1) - x - 1 Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene: a (x + 1) - x - 1 = a (x + 1) - (x + 1) = a (x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)

e) Factorizar 2x (x + y + z ) - x - y – z. Con esto: 2x (x + y + z ) - x - y - z = 2x (x + y+ z ) - (x + y + z ) = (x + y + z )(2x - 1)

f) Factorizar (x - a )( y + 2) + b ( y + 2). El factor común es ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y + 2) tenemos: b( ( x − a )( y + 2 ) =y + 2 ) = x−a y b , luego: ( y + 2) ( y + 2) (x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b )

g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor común(x - 1):

( x + 2 )( x − 1) = + 2 (x ) ( x − 1)
1)

y

− ( x − 1)( x − 3) =( x − 3) , por tanto: − ( x − 1)

(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2) - (x - 3) = (x - 1)(x + 2 - x + 3) = (x - 1)(5) = (x -

h) Factorizar x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1. x (a - 1) + y (a - 1) - a + 1 = x (a - 1) + y (a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x + y - 1)

Caso 3. Factorización por factor común(caso agrupación de términos): a) Descomponer ax + bx + ay + by Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y . Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+): ax + bx + ay + by = (ax + bx ) + (ay + by ) = x (a + b ) + y (a + b ) = (a + b )(x + y ) Hay varias formas dehacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible, la expresión dada no se puede descomponer por este método. En el ejemplo anterior podemos agrupar el 1o. y 3er. términos con el factor...