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Geometria Euclidiana Cleavers and Spliters 2008

Ricardo Filipe Marques Portugal

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Índice
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Introdução ............................................................................................................................. 3 Teorema de Arquimedes ou Teorema da corda quebrada ................................................... 4 Cleavers................................................................................................................................. 5 O triângulo médio.................................................................................................................. 6 Centro de massa de um sistema ........................................................................................... 8 A Circunferência deSpieker .................................................................................................. 9 Spliters ................................................................................................................................. 10 O Ponto de Nagel ou Centro Splitting ................................................................................. 12 A circunferência dos novepontos ....................................................................................... 14

10. Recta de Euler...................................................................................................................... 17 11. O ponto de Nagel e a circunferência Spieker ...................................................................... 19 12. Breves noções sobre dilatações.......................................................................................... 25 13. Propriedades adicionais ...................................................................................................... 27 14. Resolução de exercícios....................................................................................................... 29 15.Bibliografia........................................................................................................................... 33

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1. Introdução
A geometria, nomeadamente a geometria euclidiana continua a dar que falar e a fazer com que inúmeros matemáticos espalhados pelo mundo se continuem a deslumbrar com os seus encantos. Com base nesta ideia, o professor Rui Pacheco propôs-me a realização destetrabalho, baseado no livro “Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Eulidean Geometry” de Ross Honsberger. Temos como objectivo divulgar alguns resultados recentes, elegantes e pouco divulgados sobre geometria euclidiana, que apesar da sua já longa história continua ainda a revelar-se uma fonte inesgotável de investigação. Basta ler algumas das propriedades apresentadas para perceber que com umpouco de criatividade e astúcia é possível criar resultados admiráveis. Este trabalho encontra-se dividido em duas partes. Numa primeira parte abordamos de forma pormenorizada o 1º capítulo (Cleavers and Splitters) do livro referido. Elaboramos as demonstrações apresentadas no livro, explicando com detalhe algumas passagens omissas no mesmo. Nem sempre se seguiu a mesma metodologia do autor, dequalquer modo o essencial foi sempre preservado. Na segunda parte deste trabalho apresentamos a nossa resolução de alguns exercícios propostos pelo autor.

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2. Teorema de Arquimedes ou Teorema da corda quebrada
Teorema 1: Sendo M o ponto médio do arco ACB no semi-circulo ABC, e sendo MD perpendicular ao maior dos lados entre AC e BC, (no nosso exemplo AC). Então D divide ao meio ocaminho poligonal ACB, ou seja, = +
F M C D
C1

.
C2

C1

M o 2o C D 2o

F

O

A

H

B
A

o B

Figura 1

Figura 2

Demonstração: Comecemos por prolongar AC até F, de modo que = 2 , porque =

=

. Assim, o

triângulo CFB é isósceles (pois tem dois lados iguais). Sendo assim, os ângulos da base são iguais a . Logo − 2 . Tracemos agora a circunferência que passa...
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