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C ÁLCULO

DIFERENCIAL E INTEGRAL

DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Francisco Javier Pérez González
Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada

I

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Universidad de Granada Dpto. de Análisis Matemático

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Prof. Javier Pérez Cálculo diferencial e integral

´ Indice general

Prólogo Guías de lectura 1. Axiomas de R. Principio de inducción 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. . . .. . . . . . . . 1.2. Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Axiomas algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.1. Relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVI

XX

1 1 14 4 5 5 6 7 8

1.2.3. Desigualdades y valor absoluto 1.2.3.1. 1.2.3.2.

La forma correcta de leer las matemáticas . . . . . . . . . . Una función aparentemente caprichosa . . . . . . . . . . . .

1.2.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Principio deinducción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4. Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1. Números y medida de magnitudes. Segmentos inconmensurables. . . .26

II

Índice general 1.4.1.1. 1.4.1.2.

III

La razón áurea y el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Medimos con números racionales . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2. Hacer matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4.3. Algunas razones para estudiar matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.4.4. Lo que debes haber aprendido en esteCapítulo. Lecturas adicionales . . 32 2. Funciones elementales 33

2.1. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2. Estudio descriptivo de las funciones elementales . . . . . . . .. . . . . . . . . 39 2.2.1. Funciones polinómicas y funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2. Raíces de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3. Potencias racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4. Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5. Exponenciales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.5.1. 2.2.5.2. Interés compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Crecimiento demográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.6. Función potencia de exponente real a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.7. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.7.1. 2.2.7.2. 2.2.7.3....