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ecuación de Cauchy-Euler

En matemáticas, una ecuación de Cauchy-Euler (también conocido como la ecuación de Euler-Cauchy, o simplemente la ecuación de Euler) es una lineales homogéneas ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables. It is sometimes refered to as an equidimensional equation. A veces se conoce como una ecuación equidimensional. Because of its simple structure theequation can be replaced with an equivalent equation with constant coefficients which can then be solved explicitly. Debido a su estructura simple, la ecuación puede ser sustituida por una ecuación equivalente con coeficientes constantes que luego pueden ser resueltos de forma explícita.
La ecuación
Let y ( n ) ( x ) be the n th derivative of the unknown function y ( x ). Sea y (n) (x) el n ºderivada de la función desconocida y (x). Then a Cauchy–Euler equation of order n has the form Entonces, una ecuación de Cauchy-Euler de orden n tiene la forma de
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The substitution x = e u reduces this equation to a linear differential equation with constant coefficients. La sustitución de x = U e reduce esta ecuación a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

[edit ] Second orderde segundo orden

The second order Euler–Cauchy equation appears in a number of physics and engineering applications, such as when solving Laplace's equation in polar coordinates. La segunda orden ecuación de Euler-Cauchy aparece en una serie de aplicaciones de la física y la ingeniería, tales como cuando la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas polares. It isgiven by the equation: Es dado por la ecuación:
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We assume a trial solution given by Asumimos una solución de prueba dada por
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Differentiating, we have: Diferenciando, tenemos:
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and y
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Substituting into the original equation, we have: Sustituyendo en la ecuación original, tenemos:
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Or rearranging gives: O reorganizar da:
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Wethen can solve for m . A continuación, puede resolver para m. There are three particular cases of interest: Hay tres casos particulares de interés:
• Case #1: Two distinct roots, m 1 and m 2 Caso # 1: dos raíces distintas, m 1 y m 2
• Case #2: One real repeated root, m Caso # 2: Una raíz repetida real, m
• Case #3: Complex roots, α ± i β Raíces complejas Caso # 3, β α ± i
In case#1, the solution is given by: En el caso # 1, la solución está dada por:
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In case #2, the solution is given by En el caso # 2, la solución está dada por
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To get to this solution, the method of reduction of order must be applied after having found one solution y = x m . Para llegar a esta solución, el método de reducción de orden se debe aplicar después de haber encontradouna solución y = x m.
In case #3, the solution is given by: En el caso # 3, la solución está dada por:
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This form of the solution is derived by setting x = e t and using Euler's formula Esta forma de la solución se obtiene haciendo x = t e y utilizando la fórmula de Euler

[ edit ] ExampleEjemplo

Given Teniendo en cuenta
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we substitute the simple solution x α :sustituimos la solución simple x α:
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For this to indeed be a solution, either x = 0 giving the trivial solution, or the coefficient of x α is zero, so solving that quadratic, we get α = 1, 3. Para que esto realmente sea una solución, ya sea x = 0 dando la solución trivial, o el coeficiente de x α es cero, por lo que la solución de segundo grado, obtenemos α = 1, 3. So, thegeneral solution is Por lo tanto, la solución general es
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[ edit ] Difference equation analogueanalógica ecuación de diferencias

There is a difference equation analogue to the Cauchy–Euler equation. No es un análogo de la ecuación diferencia a la ecuación de Cauchy-Euler. For a fixed m > 0, define the sequence ƒ m ( n ) as Para un fijo m> 0, definir la secuencia ƒ m (n) como...
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