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Torpedo - C´lculo II a 1. Integrales por Definici´n o
b n

f (x)dx = l´ ım
a

n→∞

f (ak )∆xk
k=1

1.1.
1.1.1.

M´todos de Resoluci´n e o
Progresi´n Aritmetica o ∆xk =
b a

b−a b−a ; ak = a + k n n b−a n→∞ n
n

f (x)dx = l´ ım

f (a +
k=1

b−a k) n

1.1.2.

Progresi´n Geom´trica o e b a

∆xk = ark−1 (r − 1); ak = ark ; r =
b n

n

f (x)dx = l´ a ım
a n→∞ k=1f (ark )rk−1 (r − 1)

1.2.
1. 2. 3. 4. 5.

Algunas Propiedades:
b a

cdx = c(b − a); c constante ± g(x))dx =
b a a b b a

b (f (x) a b a b a b a

f (x)dx ±

b a

g(x)dx

cf (x)dx = c f (x)dx = − f (x)dx =
c a

f (x)dx f (x)dx
b c

f (x)dx +

f (x)dx

1.3.

Teorema de Existencia:
b a

Si f es continua sobre el intervalo cerrado [a,b], entonces

f (x)dx existe.2.
2.1.

El Teorema Fundamental del C´lculo a
Primera Parte
x

Sea f una funci´n contina en [a,b] y sea F definida como: o F (x) =
a

f (t)dt

a≤x≤b

Entonces F(x) es continua en [a,b] , diferenciable en ]a,b[ y F’(x)=f(x).

1

2.2.

Segunda Parte
Sea f integrable en [a,b] y F una primitiva (antiderivada) de f en ]a,b[ , entonces:
b

f (x)dx = F (b) − F (a)
a

2.2.1.Aplicaci´n: o d ( dx
β(x)

f (t)dt) = f (β(x))β (x) − f (α(x))α (x)
α(x)

3.
3.1.

El Logaritmo Natural
Definici´n o
x

El Logaritmo Natural es una funci´n que puede ser definida como una integral de la siguiente manera: o ln(x) =
1

1 dt t

4.
4.1.

Teoremas
Teorema de Orden
b b

Si f y g son funciones integrables en [a,b] y ∀x ∈ [a, b] f (x) ≥ g(x) entonces: f (x)dx ≥a a

g(x)dx

4.2.

Teorema del Valor Medio Integral
b

Sea f funci´n cont´ o ınua en [a,b] , entonces ∃ c ∈ [a,b] tal que: f (c) = Nota: Al valor de f(c) se le denomina valor medio o valor promedio de f en el intervalo [a,b] 4.2.1. Aplicaci´n o 1 b−a f (x)dx
a

Si f (x1 ) y f (x2 ) son el m´ ınimo y el m´ximo de f(x) en [a,b] respectivamente, entonces: a
b

f (x1 )(b − a) ≤
a

f(x)dx ≤ f (x2 )(b − a)

4.3.

Teorema del Valor Medio Integral Generalizado
b b

Sea f funci´n cont´ o ınua en [a,b]. Sea g > 0 integrable en [a,b] entonces ∃ c ∈ [a,b] tal que: f (x)g(x)dx = f (c)
a a

g(x)dx

2

4.3.1.

Aplicaci´n o

Si f (x1 ) y f (x2 ) son el m´ ınimo y el m´ximo de f(x) en [a,b] respectivamente, entonces: a
b b b

f (x1 )
a

g(x)dx ≤
a

f (x)g(x)dx≤ f (x2 )
a

g(x)dx

Nota: El Teorema del Valor Medio es un caso particular de ´ste ultimo teorema con g(x) = 1 e ´

5.
5.1.
5.1.1.

M´todos de Integraci´n e o
M´todo de Sustituci´n e o
Definici´n o

Si u=g(x) es una funci´n diferenciable, con recorrido I, y f es continua en I, entonces: o f (g(x))g (x)dx = Si el intervalo I es [a,b], entonces:
b g(b)

f (u)du

f (g(x))g (x)dx=
a g(a)

f (u)du

5.1.2.

Sustituciones Trigonom´tricas e

´ Identidades Utiles cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Recomendaci´n o Dadas las identidades, se recomienda mantener en mente los siguientes cambios: x = a sin(θ) x = a tan(θ) x = a sec(θ) Nota: Es importante que se entienda por qu´ cada cambio resulta util, y qu´ identidad se usar´ despu´s de e ´ e a e haberlo hecho. cuando salgan cosasde la forma cuando salgan cosas de la forma cuando salgan cosas de la forma a2 − x2 a2 + x2 x2 − a2 1 + tan2 (x) = sec2 (x)

5.2.

Integraci´n por Partes o

Sean f(x) y g(x) derivables, y adem´s sus derivadas son continuas en el dominio, entonces: a f (x)g (x)dx = f (x)g(x) − f (x)g(x)dx

Si combinamos esta regla con el Teorema Fundamental del C´lculo tenemos: a
b b

udv = uv|b − a
a avdu

3

5.3.

Fracciones Parciales
R(x) Q(x)

Si tenemos el polinomio racional 5.3.1.

distiniguimos los siguientes cuatro casos:

El Denominador, Q(x) es un producto de factores lineales distintos. Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 )...(an x + bn ) ⇒ R(x) A1 A2 An = + + ... + Q(x) a1 x + b1 a2 x + b2 a1 x + bn

5.3.2.

Q(x) es un producto de factores lineales, algunos de los...
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