Notas Sobre Elementos Finitos

Método de Elementos Finitos - Teoría de Campos
Versión 14/09/04

127$6 62%5( (/ 0(72'2 '( (/(0(1726 ),1,726 )(0

Este método constituye un método numérico destinado a resolver mediante
ecuaciones matriciales las ecuaciones diferenciales que se plantean en
sistemas discretos (estructuras) o continuos (campos).
Actualmente, se considera al método de las Diferencias Finitas como unasubclase del método de los Elementos Finitos y de hecho se puede demostrar
[Silvester-Chari] que el método FEM se reduce al método DF cuando las mallas
son regulares.
Las aplicaciones actuales del método son muy extensas e incluyen sistemas
lineales y no lineales, estáticos, dinámicos tales como Mecánica de Sólidos,
Teoría de la Elasticidad, Mecánica de Fluidos, Transmisión de Calor yElectromagnetismo.
En el caso de sistemas contínuos, el método consiste en discretizar el dominio
de interés en Elementos Finitos y resolver, mediante una función de prueba o
de aproximación, la ecuación que rige el sistema en cada EF para luego sumar
todas las soluciones.
ELEMENTOS
FINTOS
Diferencias
Finitas

Figura N°
1
Dado un recinto cerrado los pasos para la resolución son:
1) Dividir elrecinto en Elementos Finitos: Triángulos (3 nodos), Tetraedros (4
nodos), etc.
2) Deducir la ecuación que describe el potencial f dentro de un EF.
3) Plantear las ecuaciones que dan las condiciones de ajuste de las soluciones
en las fronteras de los EF.
4) Calcular los potenciales en los nodos de cada EF mediante algunos de los
métodos que luego de mencionarán.
5) Resolver las ecuacionesalgebraicas planteadas.
*HQHUDFLyQ GH ORV (OHPHQWRV )LQLWRV
-

Los contornos pueden ser irregulares
Los EF serán tan chicos como lo considere el programador. Cuanto más
varía el potencial, los EF deberán ser más chicos.

Supongamos una simetría plano-paralela: dentro de cada EF se admite una
tipo de variación del potencial, por ejemplo, lineal:

1

Método de Elementos Finitos -Teoría de Campos
Versión 14/09/04
k(xk,yk)

fe(x,y)

i(xi,yi)

j(xj,yj)
Figura N°
2

Llamando “e” al elemento finito, el potencial dentro de él será f ( [, \ ) ,
entonces, para todo el recinto, se cumplirá:
 

Êf

¥

¢

1

¤

f ( [, \ ) =

( [, \ )

[1]

¡£

Aclaremos que la variación supuesta del potencial dentro del EF podría haber
sido No Lineal.
Tomemos un únicaelemento finito triangular plano y analicemos como describir
el potencial dentro de él:
f3(x3,y3)

y

Superficie
“Am”
f1(x1,y1)

y1

em
f2(x2,y2)
x

x1
Figura N°
3
Entonces:
§

§

¦

(x, y en em)

b1 , b 2 , b 3

¨©

¨©

§

¦

§
¦

donde

( [, \ ) = b 1 + b 2 [ + b 3 \
¦

f

¨©

son constantes diferentes para cada elemento

2

[2]

Métodode Elementos Finitos - Teoría de Campos
Versión 14/09/04
Esta sería una aproximación de primer orden. Existen otras aproximaciones de
orden superior. Los b son coeficientes a determinar luego.
Notemos que el campo eléctrico dentro del cada EF es cte (para la variación
lineal del potencial propuesta):


( [, \ ) = -¶f

(
(
( [, \ ) = - b 2 [ + b 3 \






(

[3]

Ahoratenemos que seguir 2 caminos diferentes para resolver el problema:
1° Calcular los potenciales de los nodos de los EF dentro del recinto, a partir de
las condiciones de borde. Esto se efectúa mediante cálculos variacionales (ver
más adelante) u otros métodos como el Método de los Residuos ponderados
de Gaerlekin.
2° Calcular los factores b, una vez calculados los potenciales.
Para un EFsolo, esto significa primero calcular los potenciales de los nodos
f1, f2, f3 y luego calcular los factores b1, b2, b3.
&DOFXOR GH ORV IDFWRUHV GH IRUPD
Mostremos primero el segundo punto. Para eso, supongamos conocidos (por
ahora) los potenciales f1, f2, f3 del elemento.
De aquí en más no se escribirán los superíndices em para no recargar la
notación (salvo cuando sea necesario para evitar...