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Páginas: 8 (1779 palabras)
Publicado: 14 de febrero de 2013
2 o BACHILLERATO CIENCIAS SOCIALES
EXAMEN 2
EVALUACIÓN 1
1) (3 puntos). Dado el sistema de ecuaciones
x + ky + kz = k x+y+z = k ky + 2z = k
a)Discute el sistema según los valores de k Empezamos desarrollando el menor de orden 3 de la matriz de coeficientes 1 k k 1 1 1 0 k 2 = Se observa que el desarrollo del determinante es un polinomio de grado 2. Por tanto, lo 1 k k 1 1 1 0 k 2desarrollamos directamente
= 2 ? 3k + k 2
Hallamos los valores de k que anulan el determinante resolviendo la ecuación 2 ? 3k + k 2 = 0, obteniendo las soluciones ák = 1 â, ák = 2 â. Entonces: CASO 1 k ® 1 y k ® 2 RgoÝM.Coeficientes)= 3; = RgoÝM.Ampliada)= 3, 3 incógnitas Sistema Compatible Determinado CASO 2 k = 1 Sabemos que RgoÝM.Coeficientes)< 3 La matriz de coeficientes queda 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 01 2 Se observa que la segunda fila es c.lineal de la primera
(son iguales) y que el menor
= 1 ® 0 Así RgoÝM.Coeficientes)= 2
Para calcular el RgoÝM.Ampliada) basta con completar este menor con la columna de términos independientes 1 1 1 1 1 1 0 1 1 = 0 luego RgoÝM.Ampliada)=2
Sistema Compatible indeterminado con 1 parámetro Ýz Þ CASO 3 k = 2 La matriz de coeficientes queda 1 2 2 1 1 1 0 2 2 ,1 2 1 1 = ? 1 ® 0 RgoÝM.Coeficientes)= 2
Compñletamos al 3x3 en la matriz ampliada Sistema incompatible
1 2 2 1 1 2 0 2 2
= ? 2 ® 0 RgoÝM.Ampliada)=3
b) Resolverlo en el caso que tenga infinitas soluciones Es el caso 2 k = 1 En este caso, el menor fundamental es x+y = 1?z y = 1 ? 2z 1?z 1 1 ? 2z 1 1 1 0 1 Resolviendocon la regla de Cramer 1 1?z 0 1 ? 2z 1 1 0 1 1 1 0 1 luego el sistema esequivalente a
x=
=z y=
= 1 ? 2z
z=z
1
c)Resuelve el sistema para k = 2 No se puede , el sistema es incompatible
2) Dada la matriz M =
a 1 3 a
a)Calcular los valores de a para los que no existe matriz inversa La matriz tiene inversa si el determinante es distinto de 0 a 1 3 a = a 2 ? 3 Resolviendo a 1 3 a = 0 ù a2 ? 3 ù a = 2 3 a = ? 2 3
Por tanto la matriz M tiene inversa si a ® 2 3 y a® ? 2 3 b) Para a = 2 calcular M ?1 M T 2 Nota: M T es la matriz traspuesta de M Si a = 2 M= 2 1 3 2 2 3 1 2 ¸
2
M ?1 M T
2
=
2
2 1 3 2 =
?1
2 1 3 2
T
2
=
2 ?1 ?3 2
=
3 4 ?4 ?5
3 4 ?4 ?5
3 4 ?4 ?5
=
?7 ?8 8 9
3) 3)a) Resolver la siguiente ecuación. a2 a 1 = 0 1. Se observa que el desarrollo del determinante es un polinomio de grado 3 2?a 1 1 ?2 3a ?1 Intentamos buscar, a ojo, unvalor que anule el determinante : a = 1 (las 2 primeras filas son iguales) 2. Efectuamos la transformación del determinnte que, para a = 1,anule la primera fila a2 a 1 2?a 1 1 ?2 3a ?1 = a2 ? 2 + a a ? 1 0 2?a 1 1 ; Factorizamos el polinomio a 2 ? 2 + a dividiendo entra Ýa ? 1 Þ; ?2 3a ?1 =
Ýa + 2 Þ 1 0 a 2 ? 2 + a = Ýa + 2 ÞÝa ? 1 Þ Así el determinante queda Ýa ? 1 Þ 2 ? a 1 1 ?2 3a ?1 Ydesarrollando el nuevo determinante queda Ýa ? 1 Þ ?8a ? 3a 2 ? 2 Resolviendola ecuación ?8a ? 3a 2 ? 2 = 0, obtenemos a = ? Solución : Las soluciones de la ecuación son :a = 1,a = ?
4 3 4 3
+
1 3
10 , a = ?
4 3
4 3
?
1 3
10
+
1 3
10 ,a = ?
?
1 3
10
b) Para a = 1 Calcula el determinante anterior por el método de Gauss 1 1 1 El método de Gauss consiste en transformar la matriz 1 1 1 ?2 3 ?1mediante operaciones elementales en una matriz triangular superior. Para a = 1 el determinante queda 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0 0 0 =? 0 5 1 Finalmente el determinante es el producto de los términos de la 1 1 1 ?2 3 ?1 0 5 1 0 0 0 diagonal principal : Solución : ?1 6 5 6 0 = 0 4)
2
a) Calcula el valor del siguiente determinante
1 1 3 ?3
0 2 a 3
2 0 4 0
?1 1 ?1 ?2
Como aparecen 2 ceros en latercera columna desarrollamos ele determinante por la tercera columna 1 1 3 ?3 0 2 a 3 2 0 4 0 ?1 1 ?1 ?2 1 2 1 = 2 3 a ?1 ?3 3 ?2 1 0 ?1 +4 1 2 1 ?3 3 ?2
= 2Ýa + 30 Þ + 4Ý?16 Þ = 2a ? 4
b)¿ Para qué valor de a la tercera fila es c.lineal de las 2 primeras Estudiamos los distintos valores del determinante en función de a CASO 1 a ® 2 El determinante es distinto de 0, el rango de la matriz es...
EXAMEN 2
EVALUACIÓN 1
1) (3 puntos). Dado el sistema de ecuaciones
x + ky + kz = k x+y+z = k ky + 2z = k
a)Discute el sistema según los valores de k Empezamos desarrollando el menor de orden 3 de la matriz de coeficientes 1 k k 1 1 1 0 k 2 = Se observa que el desarrollo del determinante es un polinomio de grado 2. Por tanto, lo 1 k k 1 1 1 0 k 2desarrollamos directamente
= 2 ? 3k + k 2
Hallamos los valores de k que anulan el determinante resolviendo la ecuación 2 ? 3k + k 2 = 0, obteniendo las soluciones ák = 1 â, ák = 2 â. Entonces: CASO 1 k ® 1 y k ® 2 RgoÝM.Coeficientes)= 3; = RgoÝM.Ampliada)= 3, 3 incógnitas Sistema Compatible Determinado CASO 2 k = 1 Sabemos que RgoÝM.Coeficientes)< 3 La matriz de coeficientes queda 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 01 2 Se observa que la segunda fila es c.lineal de la primera
(son iguales) y que el menor
= 1 ® 0 Así RgoÝM.Coeficientes)= 2
Para calcular el RgoÝM.Ampliada) basta con completar este menor con la columna de términos independientes 1 1 1 1 1 1 0 1 1 = 0 luego RgoÝM.Ampliada)=2
Sistema Compatible indeterminado con 1 parámetro Ýz Þ CASO 3 k = 2 La matriz de coeficientes queda 1 2 2 1 1 1 0 2 2 ,1 2 1 1 = ? 1 ® 0 RgoÝM.Coeficientes)= 2
Compñletamos al 3x3 en la matriz ampliada Sistema incompatible
1 2 2 1 1 2 0 2 2
= ? 2 ® 0 RgoÝM.Ampliada)=3
b) Resolverlo en el caso que tenga infinitas soluciones Es el caso 2 k = 1 En este caso, el menor fundamental es x+y = 1?z y = 1 ? 2z 1?z 1 1 ? 2z 1 1 1 0 1 Resolviendocon la regla de Cramer 1 1?z 0 1 ? 2z 1 1 0 1 1 1 0 1 luego el sistema esequivalente a
x=
=z y=
= 1 ? 2z
z=z
1
c)Resuelve el sistema para k = 2 No se puede , el sistema es incompatible
2) Dada la matriz M =
a 1 3 a
a)Calcular los valores de a para los que no existe matriz inversa La matriz tiene inversa si el determinante es distinto de 0 a 1 3 a = a 2 ? 3 Resolviendo a 1 3 a = 0 ù a2 ? 3 ù a = 2 3 a = ? 2 3
Por tanto la matriz M tiene inversa si a ® 2 3 y a® ? 2 3 b) Para a = 2 calcular M ?1 M T 2 Nota: M T es la matriz traspuesta de M Si a = 2 M= 2 1 3 2 2 3 1 2 ¸
2
M ?1 M T
2
=
2
2 1 3 2 =
?1
2 1 3 2
T
2
=
2 ?1 ?3 2
=
3 4 ?4 ?5
3 4 ?4 ?5
3 4 ?4 ?5
=
?7 ?8 8 9
3) 3)a) Resolver la siguiente ecuación. a2 a 1 = 0 1. Se observa que el desarrollo del determinante es un polinomio de grado 3 2?a 1 1 ?2 3a ?1 Intentamos buscar, a ojo, unvalor que anule el determinante : a = 1 (las 2 primeras filas son iguales) 2. Efectuamos la transformación del determinnte que, para a = 1,anule la primera fila a2 a 1 2?a 1 1 ?2 3a ?1 = a2 ? 2 + a a ? 1 0 2?a 1 1 ; Factorizamos el polinomio a 2 ? 2 + a dividiendo entra Ýa ? 1 Þ; ?2 3a ?1 =
Ýa + 2 Þ 1 0 a 2 ? 2 + a = Ýa + 2 ÞÝa ? 1 Þ Así el determinante queda Ýa ? 1 Þ 2 ? a 1 1 ?2 3a ?1 Ydesarrollando el nuevo determinante queda Ýa ? 1 Þ ?8a ? 3a 2 ? 2 Resolviendola ecuación ?8a ? 3a 2 ? 2 = 0, obtenemos a = ? Solución : Las soluciones de la ecuación son :a = 1,a = ?
4 3 4 3
+
1 3
10 , a = ?
4 3
4 3
?
1 3
10
+
1 3
10 ,a = ?
?
1 3
10
b) Para a = 1 Calcula el determinante anterior por el método de Gauss 1 1 1 El método de Gauss consiste en transformar la matriz 1 1 1 ?2 3 ?1mediante operaciones elementales en una matriz triangular superior. Para a = 1 el determinante queda 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0 0 0 =? 0 5 1 Finalmente el determinante es el producto de los términos de la 1 1 1 ?2 3 ?1 0 5 1 0 0 0 diagonal principal : Solución : ?1 6 5 6 0 = 0 4)
2
a) Calcula el valor del siguiente determinante
1 1 3 ?3
0 2 a 3
2 0 4 0
?1 1 ?1 ?2
Como aparecen 2 ceros en latercera columna desarrollamos ele determinante por la tercera columna 1 1 3 ?3 0 2 a 3 2 0 4 0 ?1 1 ?1 ?2 1 2 1 = 2 3 a ?1 ?3 3 ?2 1 0 ?1 +4 1 2 1 ?3 3 ?2
= 2Ýa + 30 Þ + 4Ý?16 Þ = 2a ? 4
b)¿ Para qué valor de a la tercera fila es c.lineal de las 2 primeras Estudiamos los distintos valores del determinante en función de a CASO 1 a ® 2 El determinante es distinto de 0, el rango de la matriz es...
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