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Variable Compleja...*
L. A. N´ nez** u˜ Centro de F´ ısica Fundamental, Departamento de F´ ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, M´rida 5101, Venezuela y e Centro Nacional de C´lculo Cient´ a ıfico, Universidad de Los Andes, (CeCalCULA), Corporaci´n Parque Tecnol´gico de M´rida, M´rida 5101, Venezuela o o e e Versi´n α 1.0 Octubre 2006 o

´ Indice
1. Funciones de VariableCompleja 1.1. De la recta real al plano complejo . . . . . . . . . . . . . 1.2. Continuidad en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . 1.3. Diferenciabilidad de funciones complejas . . . . . . . . . 1.4. Funciones Anal´ ıticas y Condiciones de Cauchy-Riemann 1.5. Curiosidades de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 5 6 6 7 8 9 9 11

2. Series de Potencias en Variable Compleja 2.1. La convergencia y sus criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Consecuencias y conclusiones para series de potencias complejas . . . . . . . . . .. . . . . . . 3. Algunas Funciones Complejas Elementales 4. Puntos de corte, l´ ıneas de cortes y ceros de funciones complejas 4.1. Puntos y l´ ıneas de corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Singularidades, polos y ceros de funciones complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Transformaciones conformes 12 5.1. Definiciones ypropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5.2. Algunas consecuencias y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
* ADVERTENCIA: El presente documento constituye una gu´ inacabada y en evoluci´n para los estudiantes ıa o de M´todos Matem´ticos de la F´ e a ısica de la Universidad de Los Andes. Es, en el mejor delos casos, un FORMULARIO y de ninguna manera sustituye a los l´ ıbros de texto del curso. La bibliograf´ de la cual han ıa surgido estas notas se presenta al final de ellas y debe ser consultada por los estudiantes. Es importante resaltar que por ser un documento en evoluci´n es posible que existan versiones m´s completas y actualizadas en este o a mismo sitio WEB ** e-mail: nunez@ula.ve Web:http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/

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Variable Compleja...

Formulario de M´todos Matem´ticos 2 e a

6. Integrales complejas 15 6.1. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6.2. Un par de ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7. Teorema Integral de Cauchy 17 7.1.El Teorema y las Regiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7.2. Algunas observaciones y el Teorema de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7.3. F´rmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 o 8. Otra vez Taylor y ahora Laurent 21 8.1. Series de Taylor para funcionesanal’iticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.2. Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.3. Algunos Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 9. Integraci’on por el m’etodo de los residuos 9.1. Los residuos de Laurent . . . . . . . . . . . . . .9.2. Teorema del Residuo . . . . . . . . . . . . . . . . ∞ 9.3. Integrales impropias −∞ dx f (x) . . . . . . . . . 9.4. Integrales de funciones racionales de cos θ y sen θ 9.5. Integrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Otras Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . 25 25 27 28 28 28 28

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