Numero complejo

Número complejo
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, yasean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros, los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i) o el producto de sumódulo o magnitud y el número neperiano elevado a la multiplicación de su argumento (ángulo) por la unidad imaginaria.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones difrenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos seutilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Unapropiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra-pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja-, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana.Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1
Origen
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss(1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.
Definición
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)),en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta

División


Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por laparte imaginaria, es decir, aquel en el que .
Cuerpo de los números complejos
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales.Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
Unidad imaginaria
Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Valor absoluto o módulo, argumento y...