Numeros complejos operaciones y representacion

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Números Complejos
El resultado de cualquier operación algebraica sobre cualquier número real es otro número real excepto cuando se saca la raíz cuadrada de un número negativo. No existe un número real que multiplicado por si mismo de un numero negativo, por que así se ha definido en la multiplicación de manera que la raíz cuadrada de un numero negativo no encaja en este sistema.
Entonces, seinventa una nueva clase de números. Estos son números cuyo cuadrado es un numero negativo por definición, y se decide llamarlos números imaginarios. (Esta es una decisión desafortunada, por que estos números no son más imaginarios que otros; sin embargo, este es el nombre). Se distinguen escribiendo un símbolo a la izquierda del número; los matemáticos usan la letra i para este propósito (porejemplo i2, i4), pero los ingenieros electricistas usan j (j2, j4) para evitar confusión con el símbolo i de intensidad de corriente. A estos números se les asigna un lugar en el diagrama trazando una línea perpendicular hacia arriba a partir del punto 0 y otra hacia abajo para los numero imaginarios negativos.
El plano usado para representar los números complejos se denomina plano complejo; las 2líneas se llaman los ejes real e imaginario.
Habiendo llegado a los números complejos se ha completado el trabajo de inventar un sistema numérico consistente. No se necesita ninguna otra clase de números, ya que se vera que el resultado de cualquier operación algebraica con números complejos es otro número complejo y existe un lugar par el en el plano complejo.


Operaciones Fundamentales De LosNúmeros Complejos





Adición y Sustracción.


La suma de dos números complejos tiene una componente real igual a la suma de componentes reales y una componente imaginaria igual a la suma de las componentes imaginarias.

Por tanto (2 + j3) + (4 + j1) = (6 + j4)

Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo:
La primera es que se le resta a la parte real del primernúmero, la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

a + bi – c + di = a – c + bi – di

La segunda forma de restar números complejos es usar las leyes de los signos para cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo número complejo con lo que la ecuación se transforma en unasuma de números complejos, esto es muy útil, en especial cuando hay signos negativos en el segundo número complejo. En forma de ecuación queda así:
a + bi – c + di = a – c + b – di


El método del paralelo gramo usado para sumar y substraer vectores se aplica adición y substracción de cantidades en el plano complejo.


Multiplicación de números complejos


El producto de un número real yun número imaginario es otro número imaginario. Así 2(j3) = (j6). El producto de dos números imaginarios positivos es real y negativo: (j2) (j3) = -6, y (j3) (-j4) = - (j3) (j4) = 12. Debe enfatizarse especialmente el hecho de que (j1)(j1) = -1. Esto es verdadero por definición y es la base de toda la algebra compleja. Escrito de otra manera
j1 = √-1


El producto de los números complejos serealiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc) i

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos


El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

[pic][pic]


Potencias.

Los cuadros y potencias superiores de magnitudes complejas se obtienen por multiplicación repetida. El cuadro de un número real es real y positivo. El cuadro de un número imaginario es real y negativo. En general, el cuadro de un número complejo es complejo.
Las ponencias de j1 son particularmente interesantes. Por definición j1 = √ -j1
De aquí se deduce:

(j1)2 =...
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