Numeros complejos

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Número complejo
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Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los númeroscomplejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el planocomplejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Losnúmeros complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligenciahumana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Contenido[ocultar] * 1 Definición * 1.1 Unidad imaginaria * 2 Representación binomial * 3 Plano de los números complejos o Diagrama de Argand * 4 Valor absoluto o módulo, conjugado y distancia * 4.1 Valor absoluto o módulo de un númerocomplejo * 4.2 Conjugado de un número complejo * 5 Representación trigonométrica (polar) y representación geométrica * 6 Módulo y argumento * 6.1 Geometría y operaciones con complejos * 7 Soluciones de ecuaciones polinómicas * 8 Variable compleja o análisis complejo * 9 Esbozo histórico * 10 Aplicaciones * 11 Representaciones alternativas de los números complejos * 12Véase también * 13 Enlaces externos |
Definición [editar]
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
* Suma

* Multiplicación

* Igualdad

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginariopuro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .
Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.
La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:
Sean

I)
II)
III)

Sean con

Por demostrar la propiedad asociativa (I)

Por otra parte

Entonces se cumple .

Unidad imaginaria [editar]
Tomando en cuentaque , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Representación binomial [editar]
Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

Plano de los...
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