Numeros complejos

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Unidad 1. Números complejos.

Los números complejos aparecen en el horizonte de las matemáticas con la introducción de los números imaginarios.

Un numero imaginario representa una idea abstracta pero muy precisa, ¿qué numero al ser multiplicado por si mismo es igual a 1?, solo puede concebirse con la ayuda del imaginario mas conocido, el que Euler represento con el símbolo “1” quetodavía se emplea.

X2+1=0 x=± i 2
X2=-1 x=± i
X=±-1 x1= i
X2=-I No. imaginario
l2=-1 No. De Euler
i. i =-1

X2+16=0
X2+-16
X=±-16
X=±(-1)(16)
X=±16 i 2

Forma binomica.Una vez aceptada la existencia de i como numero tal que i+ i=-1, un numero imaginario queda definido como todo aquel de la forma b i donde b es cualquier numero real. Ejemplo:

5i, 1/5 i, 2 i, 9 i, 3/4 i, etc.

Al resolver:

X2+100=0 X2=100  X2=±-100

X2=± ¶100(-1) x=± ¶100 i x=±10 i

X1=10 i x2=-10 i Este es el numero imaginario.Por otra parte:

X2+4+13=0

X2+4x+4=-13+4

X2+4x+4=-9 ----- (x+2)2=-9

¶(x+2) 2=± ¶-9 ----- x+2=± ¶9(-1)

x+2=± ¶9 i 2 ------ x+2=±3 i

x=-2+-3 i ------ x1=-2+3 i Esto es un numero
x2=-2-3 i complejo.

La combinación de un numero real con uno imaginario se llama numero complejo, y se representa con la letra C.

C= 2/2=a+b i,a,bER, i 2=-1

Unidad 1. Números complejos.

1.1 Definición
1.2 Operaciones fundamentales en números complejos.
1.3 Evaluación a potencia y extracción de la raíz del numero complejo.
1.4 Función exponencial con exponente complejo y sus propiedades.

-8+ i
-1/4+3 i
a+bforma binomica
¶5-1/4 i
...

Adición y multiplicación con números complejos.

La adición y la multiplicación de números complejos se definen en términos de la adición y multiplicación de números reales, de la forma siguiente:

Sean z1=a+b i
. z2=c+d i

dos númeroscomplejos donde, a, b, c, d, ЄR

el numero z1+z2=(a+c)+(b+d) i
el numero z1 z2=(ac-bd)+(ad-bc) i

z1=-8+5 i
z2=10-7 i

z1+ z2=(-8+10)+(5-7) i= 2-2 i

z1z2=[(-8)(10)-(5)(-7)]+[(-8)(-7)+(5)(10)] i
z1z2=-45+106 i
z1=-1/2+2/3 i
z2=3/5+9 i

resolver:
a) z1+ z2
b) z1 z2

z1+ z2= (-1/2+3/5)+(2/3 i+9 i)
z1+ z2= (516/10)+(2127/3) i=11/10+29/3 i

z1 z2= -3/10+6/15-9/2 i+18/3 i 2

-3/10+123/30 i+18/3(-1)= -184/30+123/30 i= 63/10+41/10 i

Tarea 1.1

Si Resolver

z1=-10+11 i a) (z1+z2)(z1+z3)
z2=6-13 i b) (z1 z2)+( z1 z3)
z3=1/4-2/5 i c) z2 +z3d) z2 z3

a) (z1+z2)(z1+z3)

z1 +z2= (-10+6)+(11-13) i=-4-2 i
z1 +z3=(-10+1/4)+(11-2/5) i=-39/4+53/5 i

(z1 +z2)( z1 +z3)=

-4-2 i
-39/4+53/5 i
156/4+78/4 i
-212/5 i-106/5 i2
156/4-458/20 i-106/5(-1)=156/4+106/5-458/20 i=602/10-229/10 i

b) (z1 z2)+( z1 z3)

z1 z2=

-10+11 i
6-13 i
-60+66 i
+130i-143 i2
-60+196 i-143(-1)=60+143+196 i=83+196 i

z1 z3=

-10+11 i
¼-2/5 i
-10/4+11/4 i
+20/5 i-22/5 i2
-10/4+135/20 i-22/5(-1)=-10/4+22/5+135/20 i=38/20+135/20 i

(z1 z2)+( z1 z3)=

(83+38/20)+(196+135/20) i=1698/20+4055/20 i=849/10+811/4 i

c) z2 +z3=(6+1/4)+(-13-2/5) i=25/4-67/5 i

d) z2 z3=

6-13 i
¼-2/5 i
6/4-13/4 i
-12/5+26/5 i2
6/4-113/20...
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