Numeros Complejos

1. -5=5i
2. -13=13i
3. -41=41i
4. -17=17i
5. -81=81i

1. x2+4x+5=0
a=1 , b=4, c=5
x=-4±42-41521=
x=-4±16-202=-4±-42=x=-4±2i2

2. 2x2+8x+9=0
x=-8±82-42(9)2(2)=-8±64-724=-8±-84=-8±4i4=8±i

3. x2+6x+12=0
x=-6±62-41(12)2(1)=-6±36-482=-6±-122=-6±6i2

4. 2x2+7x+7=0
x=-7±7-42(7)2(2)=-7±49-564=-7±-74=-7±√7i4

5. 4x2+8x+5=0x=-8±8-44(5)2(4)=-8±64-808=-8±-88=-8±√8i8


Historia de los Números Complejos
1.1. Los inicios del algebra
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna
Mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de
la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia:una
de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser
aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron re-
legadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de
la época, como fue el caso de los números complejos.
Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera losalgebristas se dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo
misterioso en que se hallaban envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen
inicialmente en el libro Ars magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.
Pero >Como surge la idea de usar estos números? >Porqué no aparecieron antes?
>Quien era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes remontándonosa los orígenes del algebra.
Podemos decir que los números complejos aparecieron muy temprano en el pai-
saje de las matemáticas, pero fueron ignorados sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar. Aparecen entre las soluciones
de las ecuaciones cuadráticas, que generan raices cuadradas de números negativos.
Por ejemplo la ecuación:
x2 + x + 5 =0
no posee soluciones reales. Si empleamos la conocida formula de resolución de una
3
4 CAPITULO 1. HISTORIA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS
ecuación de segundo grado, nos encontraremos con la raiz cuadrada de ¡19: Los ma-
temáticos griegos, que conocían los métodos geométricos de resolución, consideraban
este tipo de problemas irresolubles.
Es completamente incorrecto decir que la aparición delos números complejos
se debió a la imposibilidad de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues los
matemáticos de entonces simplemente no se interesaban en ello. La motivación real
de entenderlos, viene de las ecuaciones cubicas, como veremos más adelante.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la
falta de un equivalente dentro de la geometría. Paraellos, todo número represen-
taba la longitud de un segmento o el área de una ¯gura plana. La geometria era
considerada entonces como el corazón de toda la matemática y esto, por supuesto,
retardó considerablemente el desarrollo de los sistemas numéricos!
Con el surgimiento del algebra durante la Edad Media, el concepto de número
se amplia, para poder manipular las ecuaciones, desligadas yade la influencia dominante de la geometría. El algebrista se va a mover en un mundo pleno de libertad e
imaginación donde las ecuaciones y fórmulas serían el semillero de las grandes ideas
que darían impulso a la matemática. Los números, de ahora en adelante, quedarían
libres de sus equivalentes geométricos.
La palabra algebra se deriva del vocablo árabe al-jabr que quiere decir restaurar.>Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando se tiene una ecuación, como
por ejemplo
2x + 3 = 5
entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados para resolverla. Esta es la forma
de operar del algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también los doctores
lo hacen. En la medicina antigua el termino algebra se usaba para designar las
operaciones de los huesos. Asi pues, un...