Numeros Complejos

MATEMÁTICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

CAPITULO 6 NUMEROS COMPLEJOS 6.1 Introducción La ecuación x 2 1 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales ya 2 que no existe un número real x tal que x 1 . Necesitamos un conjunto que contenga a , que solucione lo que soluciona y que, por ejemplo, solucione el problema planteado, tal conjunto es el conjunto de los números complejos C.Se define al conjunto C como: C 6.2 Operaciones con complejos Definición Sean z1 ( a , b) , z 2 (c, d ) C , entonces: z1 z2 ( a, b) ( c, d ) a b c d z ( a, b ) / a, b

Definición. Sean z1 (a, b) , z 2 (c, d ) C , entonces, la suma de complejos , denotada +, es tal que : z1 z 2 (a, b) (c, d ) (a c, b d ) C Ejemplo. Si z1 ( 2,6) , z 2 (4,3) entonces z1 z 2 ( 2,6) (4,3) (2,9) Teorema. (C , ) es ungrupo conmutativo, es decir 1) z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 , z1 , z 2 , z 3 C ; Asociatividad de la suma 2) Existe el complejo z N tal que z N z z z N z , z C ; z N : neutro aditivo 3) z C z op C tal que z z op z op z z N ; z op : opuesto de z 4) z1 z 2 z 2 z1 z1 , z 2 C ; Conmutatividad de la suma Demostración. 2) Sean z (a, b) , z N ( x, y ) C ; imponiendo la condición de neutro tenemos: z zN z , es decir, (a, b) ( x, y ) (a, b) ; debemos determinar x e y ( a , b ) ( x, y ) ( a, b) (a x, y b ) ( a, b) a x y b a ; como este sistema b

ocurre en entonces x 0 , y 0 , de donde z N (0,0) Por otro lado, z N z (0,0) (a, b) (a, b) z 4) Sean z1 (a, b) , z 2 (c, d ) C entonces:
*

z1

z2

( a , b ) (c, d )

( a c, b d ) (c a , d

b)

(c, d ) ( a , b )

z2

z1
111UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. . .

MATEMÁTICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

* : por la conmutatividad de la suma en Es inmediato determinar que a) z N (0,0) es único y lo dotamos por 0 b) Si z (a, b) entonces z op ( a, b) es único y lo denotamos por

z

Definición. Sean z (a, b) C , k entonces, la ponderación del complejo z por elescalar k, denotada kz , es tal que: kz k (a, b) (ka, kb) C Observación. 1) 1z z ; z C , 1 2) (k1 k 2 ) z k1 z k 2 z ; z C , k 1 , k 2 3) (k1 k 2 ) z k1 (k 2 z ) ; k 1 , k 2 , z C , z1 , z 2 C 4) k ( z1 z 2 ) kz1 kz 2 ; k Ejemplo. Sean z1 (3, 2) , z 2 (2,4) C entonces 3 z1 2 z 2 3(3, 2) 2(2,4) (5, 14) Definición. Sean z1 (a, b) , z 2 (c, d ) C , entonces el producto de complejos es tal que : z1 z 2 (a,b)(c, d ) (ac bd , ad bc) C Teorema. Se cumple: 1) z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 , z1 , z 2 , z 3 C Asociatividad del producto 2) Existe el complejo z N tal que z N z z z N z , z C ; z N : neutro multiplicativo 3) z C - 0 z inv C tal que z z inv z inv z z N , z inv : inverso multiplicativo 4) z1 z 2 z 2 z1 z 1 , z 2 C , Conmutatividad del producto Demostración. 2) Sean z (a, b) (0,0) , z N ( x, y) C entonces, como debe cumplirse que zN z z tenemos: zN z z ( x, y )(a, b) ( a , b) ( xa yb, xb ya) ( a, b)

xa yb a ; multiplicando la xb ya b primera ecuación por a y la segunda ecuación por b , sumando obtenemos: xa 2 xb 2 a 2 b 2 de donde x 1 ; podemos deducir que y 0 , de donde z N (1,0) Por la igualdad de complejos deducimos el sistema Por otro lado, z z N (a, b)(1,0) (a 0,0 b) (a, b) zSi z (a,0) , z (0, b) , z (0,0) también se cumple: (1,0) z z (1,0) z, z C

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA – DEPTO. DE MATEMÁTICA Y C.C. . .

112

MATEMÁTICA GENERAL 10.052, HERALDO GONZALEZ S.

3) Sean z (a, b) C 0 , z inv ( x, y ) , entonces se debe cumplir que z z inv decir, se debe cumplir que (a, b)( x, y ) (1,0) ; tenemos: (a, b)( x, y ) (1,0) (ax by, ay bx)(1,0) ax by 1 , bx ay 0

(1,0) , es

multiplicando

la

primera ecuación por a , la segunda ecuación por b y sumando, obtenemos a 2 x b 2 x a a b de donde x ; usted puede concluir que y , de donde, el inverso 2 2 2 a b a b2 a b multiplicativo de z (a, b) es: z inv ( 2 , 2 ) 2 a b a b2 Observación a) z N b) Si z

(1,0) es único y lo dotamos por 1 ( a, b) (0,0) entonces
1

z inv ( a a
2...