Numeros complejos

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Números complejos o imaginarios
Un id ad imag in aria
S e l l a m a a sí a l n ú m e r o y se designa por la letra i.

Nú mero s imag in ario s
U n n ú m e r o i m a g ina r i o s e d e n o t a p o r b i , d o n d e : b e s u n n úm e r o r e al i e s l a u n i d a d i m a gi n a r i a

C o n l o s n ú m e r o s im a g i n a r i o s p o d em o s c a l c u l a r r a í c e s c o n í n d i ce p a r y radicando negativo. x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria
i0 i1 i2 i3 i4
= 1 =

i

= −1 = −i = 1

L o s va l o r e s s e r e p i t e n d e c u a t r o e n c u a t r o , p o r e s o , p a r a s a b e r c u á n t o v a l e u n a d e t e rm i n a d a p o t e n c i a d e i , s e d i vi d e e l e x p o n e n t e e n t r e 4 , y e l r e s t o e s e l e xp o n e n t e d e l ap o t e n c i a e q u i v a l e n t e a l a d a d a .

i22

i22 i27

= (i4)5 · = −i

i2

= − 1

Números complejos en forma binómica
A l n úm e r o a + b i l e l l a m am o s n ú m e r o c o m pl e jo e n f o r m a b i nó m i c a .

E l n úm e r o a s e l l a m a p a r t e r e a l d e l n ú m e r o c o m p l e jo . E l n úm e r o b s e l l a m a p a r t e i m a g i n a ri a d e l nú m e r o c o mp l e jo .

S i b = 0 e l n ú m e r o c o m p l e jo s e r e d u c e a u n n ú m e r o r e a l ya q u e a + 0i = a.

S i a = 0 e l n ú m e r o c o m p l e jo s e r ed u c e a b i , y s e d i c e q u e e s u n n ú m e r o i m a gi n a r io pu r o .

E l c o n j u n t o d e t o d o s n ú m e r o s c o m pl ejo s s e d e s i g n a p o r

.

L o s n ú m e r o s c o m p l e jos a + bi y − a − b i s e l l am a n op ue s t o s . L o s n ú m e r o s c o m p l e jo s z = a + bi y z = a − b i s e l l am an c o n ju g a do s . Dos números c om p l e jo s son i g ua l e s cuando tienen la misma

c o m p o n e nt e r e a l y l a m i s m a c o m p one n t e i m a g i n a r i a .

Representación gráfica de números complejos
L o s n ú m e r o s c o m p l e jo s s e r e p r es e n t a n e n u n o s e j e s c a r t e s i a n o s . E l e je X s e l l a m a e je r e a l y e l Y, e je i m a g i n a r i o. El nú m e r o c o m p l e jo a + b i se representa:

1 P o r e l p u n t o ( a , b ) , q u e s e l l am a s u af i jo ,
z

2 Me d i a n t e u n ve c t o r d e o r i g e n ( 0 , 0 ) y e x t r e m o ( a , b ) .

Los afijos de los números reales se sitúan sobre eleje real, X. Y los i m a g i n a r i o s s o b r e e l e j e im a g i n a r i o , Y .

Operaciones de números complejos en la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
L a s um a y d i f e r e n c i a d e n ú m e r o s com p l e j o s s e r e a l i z a s u m a n d o y r e s t a n d o p a r t e s r e a l e s e n t r e s í y p a r t e s i m a g i n a r i a s e nt r e s í . ( a + bi) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d )i ( a + bi ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d )i ( 5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) = = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

Multiplicación de números complejos
El producto de los números c om p l e j o s se realiza aplicando la

p r o p i e d a d d i s t r i b ut i va d e l p r o d u c t o r e s p e c t o d e l a s u m a y t e n i e n d o e ncuenta que i2 = −1. ( a + bi ) · ( c + d i ) = ( a c − bd ) + ( a d + b c ) i ( 5 + 2 i) · ( 2 − 3 i) = =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos
El cociente de n úm e r o s c om p l e j o s se hace r a c i o n a l i z a nd o el

d e n o m in a d o r ; e s to e s , m u l t i p l i c a n d o n u m e r a d o r y d e n o m i n a d o r p o r e l conjugado deéste.

Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El m ó du l o de un número c o m ple jo es el m ó d u lo del ve c t o r

d e t e r m i n a d o p o r el o r ig e n d e c o o rd e n a d a s y s u a f i jo . S e d e s i g n a p o r | z | .

Ar g u m e n t o d e un n ú m e r o c o m pl e jo E l a r g u m e n t o d e u n nú m e r o c o m p le jo e s e l á n g u l o q u e f...
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